A476 : Passage d’une année à l’autre

A476 : Passage d’une année à l’autre

Les entiers naturels x et y positifs obéissent à la relation

.Prouver que x – y est un carré parfait dont on donnera les trois plus petites valeurs possibles.

Donc y²=(x-y)(2010(x+y)+1) ; 2010(x+y)+1= 2010(x-y)+4020y+1 ; or, comme tout diviseur de x-y divise aussi y, x-y est premier avec 2010(x+y)+1, donc chacun d’eux est un carré parfait: il existe donc p et q entiers tels que x-y=p², 2010(x+y)+1=q², y=pq ; soit x=p(p+q), x+y=p(p+2q); or x+y=(q²-1)/2010, donc p²+2qp-(q²-1)/2010=0; il doit donc exister d tel que d²= (2011q²-1)/2010, et p=d-q.

On est ramené à la résolution de 2011q²-2010d²=1, que l’on effectue à partir du développement en fraction continue de √(2011/2010)=(1,4020,2)

La première solution est q=8041, d=8043, p=2 et x-y=2²=4; y=16082, et x=16084.

Les solutions suivantes donnent pour p les valeurs 16084 et 129347526.