A476. Passage d'une année à l'autre
Les entiers naturels x et y obéissent à la relation 2010x2 + x = 2011y2 + y. En déduire que x - y est un carré parfait p2 dont on donnera les trois plus petites valeurs.
Solution proposée par Bernard Grosjean.
La relation peut s'écrire :
x – y + 2010(x2 – y2) = y2 soit :
(x – y)[1 + 2010(x + y)] = y2 (1)
L'équation (1) est de la forme : A*B = C2, avec A = (x – y) et B = 1 + 2010(x+y) Si A et B sont premiers entre eux, cad (A,B) = 1, A et B sont des carrés.
Supposons que (A,B) = d > 1
On aurait alors A = d*k2 et B = d*t2, avec (k,t) = 1 soit C2 = y2 = (d*k*t)2 et y = d*k*t
en reportant la valeur de y dans A = x- y = d*k2, on obtient x = d*k2 + d*k*t = d*k(k + t) on aurait donc x + y = d*k(k + 2t)
et alors pour que B = 1 + 2010(x+y) = 1 + 2010d*k(k + 2t) soit égal à d*t2, il faut que d = 1, ce qui est contraire à l'hypothèse d > 1
Conclusion : (x – y) et [1 + 2010(x + y)] sont premiers entre eux.
Puisque leur produit est égal à un carré (y2), chacun d'entre eux est donc un carré parfait.
(x – y) est un carré parfait, (cqfd).
Posons (x – y) = p2 et 1 + 2010(x + y) = h2 (p et h entiers) On a par ailleurs, puisque y2 = p2h2, y = ph, et x = p2 + y = p(p+h).
Résolvons 1 + 2010(x + y) = h2
En remplaçant x et y par leurs valeurs en p et h, on obtient : 1 + 2010(p2 + ph + ph) = 1 + 2010p(p + 2h) = h2
soit h 2– 4020ph – 2010p2 – 1 = 0
Le déterminant de cette équation est : Δ'2 = (2010)2p2 + 1 + 2010p2 = 1 + 2010*2011p2 qui doit avoir des solutions entières.
On reconnait une équation de Pell Fermat, du type X2 – KY2 = 1, avec Δ' = X
2010*2011 = K p = Y
La résolution de cette équation passe par le développement en fraction continue de racine de (K).
Comme nous avons beaucoup de chance, le développement en fraction continue de racine de (2010*2011) est (2010, 2, 4020, 2, 4020....), de période 2
La solution minimale est X1 = 4 021, Y1 = p1 = 2.
Les autres solutions se déduisent de cette solution minimale par calcul matriciel : On trouve finalement :
Xn = (½)[(X1 + Y1*K0,5)n + (X1 – Y1*K0,5)n]
Yn = pn = (1/2*K0,5)[(X1 + Y1*K0,5)n - (X1 – Y1*K0,5)n]
Les trois plus petites valeurs de p2 sont : 4
258 695 056
16 730 782 482 320 676
A titre de vérification, pour la valeur minimale 4, on trouve sans difficulté, pour x et y de la relation de départ :
x = 16 086 y = 16 082
on a bien : 2010x2 + x = 2011y2 + y = 520 106 402 046
