On pose R - x = p2q2, R + x = 2pq, r x R2 2 = p2q2 avec p et q entiers (p &gt

A438 – L’Objet Volant A Identifier (OVAI) [*** à la main]

Solution

On désigne par R le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère ABCD, r le rayon du cercle inscrit dans ce quadrilatère et tangent à ses quatre côtés et x la distance qui sépare les centres de ces deux cercles.

D’après le théorème de Fuss ( http://mathworld.wolfram.com/BicentricQuadrilateral.html), on

a la relation [Re] : _{2 2 2}

r 1 x) (R

1 x)

(R

1 

 

 ou encore

2 2 2 2

2

r x ) R

x R ( ) x R

( 

 



 







 .

Il en résulte que R – x, R + x et r

x R² ²

forment un triplet pythagoricien.

On pose R - x = p²q², R + x = 2pq, r

x R² ²

= p²q² avec p et q entiers (p > q).

On obtient ainsi les solutions entières en R et r avec les paramètres p et q : R =(p²q²2pq)(p²q²) et r = 4pq(p² q²)

La plus petite valeur entière possible de R est donnée par p = 2 et q = 1, soit R = 35 à laquelle correspond r = 24. Bien entendu tous les couples (R,r) = (35k, 24k) avec k entier > 1 sont solutions de [Re].

Pour p = 3 et q = 1, on obtient le couple (R,r) = (140,96) qui correspond à k = 4. Pour p = 3 et q = 2, on a (R,r) = (221,120) , pour p = 4 et q = 1, on a (R,r) = (391,240) et pour p = 4 et q = 3, on obtient (R,r) = (775,336). Pour les plus grandes valeurs de p, R qui est proportionnel à la puissance 4 de p, s’accroît rapidement.

Par ailleurs on a les relations classiques qui expriment R , r et les deux diagonales d₁ et d₂en fonction des côtés a,b,c,d d’un quadrilatère bicentrique:

(1) R =

abcd 16

) bc ad )(

bd ac )(

cd ab

(   

(2) a c

r abcd

 

(3) ad bc bd) cd)(ac d₁ (ab





  (1^ère diagonale)

(4) ab cd

bc) bd)(ad d₂ (ac





  (2^ème diagonale)

ce qui donne d₁d₂= ac + bd avec (5) a + c = b + d

Considérons les relations (2) et (5). Il en découle la relation abcd = abc(a – b + c) = (ac)r². L’équation quadratique en b : acb²ac(ac)b(ac)²r² 0 a pour discriminant

) acr 4 c a ( ) c a

(  ^{2 2 2} ² = )

ac r 1 4 .(

c a . ) c a (

2 2 2

2 

 qui doit être le carré d’un entier.

D’où ₂

2 2

v u ac

r

1 4  avec v

ufraction rationnelle , u et v entiers positifs tels que u < v.

On obtient ac = _{2 2}

2

u v

) rv 2 (

 , b =

v 2

) c a )(

v u

(  

et d = a – b + c =

v 2

) c a )(

u v

(  

avec a,b,c,d2R et b>d.

Le tableau ci-après récapitule pour r = 24,en fonction de différentes valeurs possibles du couple (u,v) avec 1u < v25, les seules valeurs entières de a, b, c, d qui respectent les égalités et inégalités précédentes.

Il y a une seule solution possible pour le quatuor (a,b,c,d) : a = 42, b = 56, c = 56, d = 42 qui donne le rayon R = 35 du cercle circonscrit.

Le quadrilatère a la forme d’un cerf-volant.

D’où d₁ =70 mais alors d₂= 5

336 = 67,2 qui n’est pas un entier

Il suffit de multiplier par 5 tous les termes et l’on obtient finalement les valeurs entières suivantes : a = 210, b = 280, c = 280, d = 280, d₁= 350, d₂ = 336 , R = 175, r = 120, x = 25.

On vérifie que ce sont bien les plus petites car d’après les calculs du couple (R,r), les autres valeurs possibles de R qui ne sont pas de la forme de 35k sont toutes supérieures à 175 : 221, 391, 775, etc…