Q2 SoitQ∈R[X] de degr´en>1

Sup PCSI2 — Devoir 2006/08

INous ´etudions Ψ : Q∈R[X]7→(X²−1)Q⁰⁰+4XQ⁰. Nous noterons indiff´eremmentQouQ(X).

Q1 Justifiez : Ψ est un endomorphisme deR[X].

Q2 SoitQ∈R[X] de degr´en>1. Prouvez que Ψ(Q) est lui aussi de degr´en. Notantale coefficient dominant deQ, vous expliciterez le coefficient dominant de Ψ(Q) en fonction deaet den.

Q3 D´eterminez le noyau de Ψ.

Q4 Justifiez : Ψ induit un endomorphisme de Rn[X], endomorphisme que nous noterons Ψn dans la suite.

Q5 Explicitez la matriceJ3 de Ψ³ dans la base canonique deR³[X].

Q6 Notons J_n la matrice de Ψn dans la base canonique de Rn[X]. Calculez la trace de J_n; rappel : la trace d’une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux.

ISoitk∈R. Nous nous int´eressons `a l’´equation Ψ(Q) =kQ, ´equation que nous noterons E_k dans la suite.

Q7 Justifiez : l’ensemble des solutions deE_k est un s.e.v. deR[X].

Q8 Soit Qune solution non nulle deE_k. Quelle relation a-t-on entrek et le degr´endeP?

IDans les trois questions suivantes, nous supposons queE_kposs`ede une solutionQunitaire de degr´en. Notons Sle polynˆome (−1)ⁿQ(−X).

Q9 Montrez que Sest aussi une solution deE_k. Q10 Que pouvez-vous dire du degr´e deQ−S? Q11 En d´eduireQ=S; quelle est la parit´e deQ?

IPour n>0 fix´e, nous nous proposons de montrer que l’´equationE_k poss`ede effectivement une solution Q_n unitaire de degr´en.

Q12 D´eterminezQ0,Q1 etQ2.

Q13 SoitPQ_n r´epondant `a la question. Justifiez l’existence d’une famille (aj)⁰6j6n v´erifiant a0 = 1 et Q_n =

062j6n

a_jX^n−2j.

Q14 Montrez queQ_n est solution deE_k ssi on a, pour toutj v´erifiant 262j 6n: 2j(2j−2n−3)aj= (n−2j+ 2)(n−2j+ 1)aj−1

Q15 Justifiez alors l’existence deQ_n.

Q16 Donnez une expression simple deaj, ne faisant intervenir aucun symboleQ

. Une ´ecriture faisant intervenir trois coefficients binomiaux est possible, et sera appr´eci´ee comme il se doit.

[Devoir 2006/08] Compos´e le 10 juin 2007