S OMMES , PRODUITS , COEFFICIENTS BINOMIAUX

S OMMES , PRODUITS , COEFFICIENTS BINOMIAUX

1 S

Pour tousz_m, . . . ,z_n∈Cavecm¶n, on note Xn k=m

z_kla somme

Forme ditein extenso de la somme

z }| {

z_m+z_m+1+. . .+z_n. Par exemple, pour toutα∈C: Xn

k=1

1 k =1+1

2+1

3+. . .+ 1 n−1+1

n,

X2n p=3

pp=p 3+p

4+. . .+p

2n et

Xn k=m

α= α

|{z}

k=m

+. . .+ α

|{z}

k=n

= (n−m+1)×α. Plus généralement, pour toute famille(z_i)_i∈Ide nombres complexes indexée par un ensembleFINII, la somme de tous les z_i,idécrivantI, est notéeX

i∈I

z_i. Par exemple : X

i∈{1,4,9}

z_i = z₁+z₄+z₉ et parconvention des sommes vides: X

i∈∅

z_i=0.

i j

1 2 · · · n 0 z₀₁ z₀₂ · · · z_0n 1 z₁₁ z₁₂ · · · z_1n ... ... ... . .. ...

m zm1 z_m2 · · · z_mn L’ensembleIpeut être un ensemble de couples, auquel cas on additionne simplement les termes

d’un tableau à deux entrées. Pour : I =¹0,mº×¹1,nº=¦

(i,j)| 0¶i¶m et 1¶j¶n© , la somme

X

i∈I

z_i est alors plutôt notée X

0¶i¶m 1¶j¶n

z_{i j}.

Curieux au premier abord, ce genre d’indexation est plus courant qu’il n’y paraît. Par exemple, quand on multiplie une somme demtermes et une somme dentermes, on obtient en développant une somme demntermes, mais qu’on peut écrire avec un seulP

. Xm

i=1

a_i× Xn

j=1

b_j= (a₁+. . .+a_m)×(b₁+. . .+b_n) =a₁b₁+a₁b₂+. . .+a_mb_n−1+a_mb_n = X

1¶i¶m 1¶j¶n

a_ib_j.

Théorème (Produit de deuxP

) Pour tousa₁, . . . ,a_m,b₁, . . . ,b_n∈C: Xm

i=1

a_i× Xn

j=1

b_j= X

1¶i¶m 1¶j¶n

a_ib_j.

À présent, une question. À quelles lettres a-t-on droit quand on veut écrire une somme sous la forme d’unP

? C’est simple, on l’écrit in extenso, on regarde quelles variables apparaissent dans cette écriture in extenso et on choisit pour indice du symboleP

N’IMPORTE QUELLE AUTRE LETTRE. Par exemple, pour : 1+2²+3²+. . .+100², on peut choisir n’importe quelle lettre :

X100 n=1

n²= X100 k=1

k²= X100 i=1

i²= X100 p=1

p². . . tandis que pour : 1+2²+3²+. . .+n², la lettre «n» doit être écartée car elle a déjà une signification dans la somme :

Xn n=1

n²= Xn k=1

k²= Xn

i=1

i²= Xn p=1

p². . .

Autre question. Quand plusieurs sommes apparaissent dans un même calcul, doit-on leur donner des indices différents ? Que penser par exemple des écritures suivantes :

Xn k=1

(a_k+b_k) = Xn k=1

a_k+ Xn k=1

b_k et Xn k=1

(a_k+b_k) = Xn

i=1

a_i+ Xn

j=1

b_j ? Les deux sont convenables et racontent en dépit des apparences la même histoire in extenso :

(a₁+b₁) + (a₂+b₂) +. . .+ (a_n+b_n) = (a₁+a₂+. . .+a_n) + (b₁+b₂+. . .+b_n).

. . . bla bla bla

Xn

k=1

z_k bla bla bla. . .

Naissance de l’indicek

$

$

$

$

Mort dek— courte vie que la vie d’un indice !

L’indice d’une somme a en réalité une zone d’influence très restreinte comme l’indique la figure ci-contre. Un indice « mort » peut être recyclé à volonté. La seule chose qu’il faut éviter, c’est la schizophrénie, le fait qu’une même lettre possède plusieurs significations au même instant.

Nouvelle idée. Une somme peut toujours être écrite de différentes manières selon le choix qu’on fait de la lettre-indice.

Le passage d’une écriture à une autre est appeléchangement d’indiceet deux exemples vaudront mieux qu’un long discours.

Xn k=1

z_k=z₁+z₂+. . .+z_n=

n−1

X

p=0

z_p+1

Changement d’indicek=p+1

p 0 1 2 · · · n−2 n−1

k 1 2 3 · · · n−1 n

Xn k=0

z_k=z₀+z₁+. . .+z_n= Xn p=0

z_n−p

Changement d’indicek=n−p

p n n−1 n−2 · · · 1 0

k 0 1 2 · · · n−1 n

Nous verrons parfois des changements d’indice plus compliqués. Ce qu’il faut toujours garantir, c’est qu’on n’a ni supprimé ni ajouté aucun terme à la somme initiale — on a juste changé le nom de l’indice.

Il arrive souvent qu’on tombe au cours d’un calcul sur des sommes ditestélescopiquesde la forme : X···

k=···

(z_k+1−z_k) qui se calculent merveilleusement bien.

Xn k=m

(z_k+1−z_k) = (z_n+1−z_n) + (z_n

| {z }

Simplification

−z_n−1) + (z_n−1

| {z }

Simplification

−z_n−2) +. . .+ (z_m+2 −z_m+1) + (z_m+1

| {z }

Simplification

−z_m) = z_n+1−z_m.

Théorème (Simplification télescopique) Pour tousz_m, . . . ,z_n+1∈C:

Xn

k=m

(z_k+1−z_k) =z_n+1−z_m.

On utilise souvent cette formule en sens inverse. Ce que la simplification télescopique raconte, c’est que pour comparer z_metz_n+1, il suffit de savoir comparer les termes « voisins »z_ketz_k+1pour toutk∈¹m,nº, puis de sommer.

Exemple Xn p=1

ln

 1+1

p

‹

= Xn p=1

€

ln(p+1)−lnpŠ

=ln(n+1).

Exemple La somme Xn k=1

1 k − 1

k+1

‹

vaut à la fois 1− 1 n+1 et

Xn k=1

1

k(k+1), donc : Xn k=1

1

k(k+1)=1− 1 n+1.

Il est tentant de faire tendrenvers+∞dans ce résultat, i.e. de « sommer jusqu’à l’infini ». C’est autorisé quand, à l’issue d’un calcul sur une somme finie, on observe que le résultat obtenu converge.

Définition (Sommes infinies)

Soit(u_n)_n∈Nune suite. Si elle existe et est finie, la limite : lim

n→+∞

Xn k=0

u_k est notée

+∞

X

k=0

u_k.

Exemple

+∞

X

k=1

1

k(k+1)=1.

Retour à présent sur lessommes doubles. La somme des termes d’un tableau à deux entrées peut être calculée en sommant par paquets d’abord sur les lignes, ou bien d’abord sur les colonnes.

Somme des termes d’un tableau carré :X

1¶i¶n 1¶j¶n

zi j, aussi notée X

1¶i,j¶n

zi j

i j

1 2 · · · n 1 z₁₁ z₁₂ · · · z_1n 2 z₂₁ z₂₂ · · · z_2n ... ... ... . .. ...

n z_n1 z_n2 · · · z_nn

Xn j=1

z_1j Xn

j=1

z_2j ...

Xn j=1

z_{n j}

















 Xn

i=1

Xn j=1

z_{i j}

Xn i=1

z_i1 Xn

i=1

z_i2

· · · Xn i=1

z_in

Xn

j=1

Xn i=1

z_{i j}

Somme des termes d’un tableau triangulaire avec diagonale : X

1¶i¶j¶n

z_{i j}

i j

1 2 · · · n 1 z₁₁ z₁₂ · · · z_1n 2 z₂₂ · · · z_2n ... . .. ...

n z_nn

Xn j=1

z_1j Xn

j=2

z_2j ...

Xn j=n

z_{n j}

















 Xn i=1

Xn j=i

z_{i j}

X1 i=1

z_i1 X2 i=1

z_i2

· · · Xn i=1

z_in

Xn

j=1

Xj i=1

z_{i j}

On traite de même le cas des sommes de la forme X

1¶i<j¶n

z_{i j} — tableaux triangulairesSANSdiagonale.

Théorème (Permutation desP

) Pour toute famille(z_{i j})_1¶i,j¶nde nombres complexes : X

1¶i,j¶n

z_{i j}= Xn

i=1

Xn j=1

z_{i j}= Xn

j=1

Xn i=1

z_{i j}, X

1¶i¶j¶n

z_{i j}= Xn

j=1

Xj i=1

z_{i j} = Xn

i=1

Xn j=i

z_{i j}, X

1¶i<j¶n

z_{i j}= Xn

j=2 j−1

X

i=1

z_{i j}=

n−1

X

i=1

Xn j=i+1

z_{i j}.

Nous calculerons souvent des sommes doubles cette année.

Quand on ne sait pas quoi faire de deux sommes emboîtées, on les permute pour voir ce qui se passe !

Exemple Soitn∈N^∗. On ne voit pas trop comment on pourrait simplifier la somme Xn

j=i

1 j = 1

i + 1

i+1+. . .+1

n pour tout i∈¹1,nº. Il est en revanche facile de simplifier la somme de ces sommes.

Xn i=1

Xn j=i

1

j = X

1¶i¶j¶n

1 j =

Xn j=1

Xj i=1

1 j =

Xn j=1

1 j

Xj i=1

1= Xn

j=1

1 j ×j=

Xn j=1

1=n.

i

j 1 2 · · · n 1 z²₁ z₁z₂ · · · z₁z_n 2 z₂z₁ z²₂ · · · z₂z_n ... ... ... . .. ...

n znz₁z_nz₂ · · · z_n² Les sommes X

1¶i<j¶n

z_{i j}sont plus courantes qu’il n’y paraît, on les rencontre naturellement quand on calcule le carré d’une somme. Le calcul qui suit repose essentiellement sur l’idée que le tableau ci-contre est symétrique par rapport à sa diagonale.

‚ _n X

k=1

z_k

Œ2

= Xn

i=1

z_i× Xn

j=1

z_j = X

1¶i,j¶n

z_iz_j=

Termes au-dessus de la diagonale

z }| { X

1¶i,j¶n i<j

z_iz_j +

Termes diagonaux

z }| { X

1¶i,j¶n i=j

z_iz_j +

Termes sous la diagonale

z }| { X

1¶i,j¶n i>j

z_iz_j

= Xn k=1

z_k² + 2 X

1¶i<j¶n

z_iz_j. Par exemple : (a+b)²= a²+b²

+2a b et (a+b+c)²= a²+b²+c²

+2(a b+ac+bc).

Théorème (Carré d’unP

) Pour tousz₁, . . . ,z_n∈C: ‚ _n X

k=1

z_k

Œ2

= Xn k=1

z_k² + 2 X

1¶i<j¶n

z_iz_j.

Doubles produits

z }| {

La fin du paragraphe recense quelques formules qu’il est indispensable de connaîtrePAR CŒUR.

Théorème (Calcul de Xn k=0

ket Xn k=0

k²) Pour toutn∈N:

Xn k=0

k= n(n+1)

2 et

Xn k=0

k²= n(n+1)(2n+1)

6 .

Démonstration

• Calcul deS= Xn k=0

k: Calculons de deux manières la somme des termes du tableau suivant :

n n−1 n−2 · · · 1 0

0 1 2 · · · n−1 n S

S

2S

n n n

· · ·

n n n(n+1)

Conclusion : 2S=n(n+1), i.e.S= n(n+1)

2 .

On peut présenter la même idée à l’aide d’un changement d’indice en renversant l’ordre de lecture de la sommeS: S=

Xn k=0

kⁱ⁼ⁿ=^−k Xn

i=0

(n−i) = Xn

i=0

n− Xn

i=0

i=n(n+1)−S, doncS= n(n+1)

2 .

• Calcul de Xn k=0

k²: Pour toutk∈N: (k+1)³−k³= (k+1)−k

k²+k(k+1) + (k+1)²

=3k²+3k+1 d’après la formule «aⁿ−bⁿ». Sommons maintenant ces identités. Pour toutn∈N:

Xn k=0

€(k+1)³−k³Š

= Xn k=0

3k²+3k+1

, donc : (n+1)³−0³=3 Xn k=0

k²+3 Xn k=0

k+ Xn k=0

1 après simplification télescopique. Enfin :

3 Xn k=0

k²= (n+1)³−3 Xn k=0

k− Xn k=0

1= (n+1)³−3× n(n+1)

2 −(n+1) = n+1

2 2(n+1)²−3n−1

= n+1

2 2n²+n+1

= n(n+1)(2n+1)

2 . Le résultat en découle.

Théorème (Sommes géométriques)

Pour tousx∈Cetm,n∈Npour lesquelsm¶n: _n X

k=m

x^k=





x^m× x^n−m+1−1

x−1 six6=1 n−m+1 six=1.

Nombre de termes

z }| {

Premier terme

En outre, si|x|<1 :

+∞

X

k=0

x^k= 1 1−x.

Démonstration Six=1 : Xn k=m

x^k= Xn k=m

1=n−m+1. Dans le cas contraire : (x−1)

Xn k=m

x^k= Xn k=m

x^k+1−x^k

=xⁿ⁺¹−x^m, donc : Xn k=m

x^k= xⁿ⁺¹−x^m

x−1 =x^m× x^n−m+1−1 x−1 . Pour finir, si|x|<1 : lim

n→+∞xⁿ=0, donc : Xn k=0

x^k=1−xⁿ⁺¹ 1−x _n−→

→+∞

1 1−x.

Théorème (Formuleaⁿ−bⁿ) Pour tousn∈N^∗eta,b∈C: aⁿ−bⁿ= (a−b)

n−1

X

k=0

a^kb^n−k−1= (a−b)€

aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+. . .+a bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹Š .

Dans la somme, les puissances de adiminuent à mesure que les puissances de baugmentent. Pourn= 2, le résultat est connu : a²− b² = (a−b)(a+ b), pour n = 3 : a³−b³ = (a−b) a²+a b+b²

, et enfin pour n = 4 : a⁴−b⁴= (a−b) a³+a²b+a b²+b³

. Démonstration (a−b)

Xn−1 k=0

a^kb^n−k−1= Xn−1 k=0

€a^k+1b^n−(k+1)−a^kb^n−kŠ

=aⁿb⁰−a⁰bⁿ=aⁿ−bⁿ.

Définition-théorème (Un double point de vue sur la notion de racine d’un polynôme) SoientP:C−→Cune fonction polynomiale à coefficients complexes etλ∈C. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) P(λ) =0.

(ii) Il existe une fonction polynomialeQ:C−→C à coefficients complexes pour laquelle : P(z) = (z−λ)Q(z) pour toutz∈C.

On dit dans ce cas queλest uneracine de P.

Démonstration Notonsa₀, . . . ,a_nles coefficients deP, de sorte que : P(z) =a_nzⁿ+. . .+a₁z+a₀ pour tout z ∈C. L’implication (ii)=⇒ (i) est triviale. Réciproquement, faisons l’hypothèse que P(λ) =0. Aussitôt, pour toutz∈C:

P(z) =P(z)−P(λ) = Xn k=0

a_k z^k−λ^k

= Xn k=1

a_k z^k−λ^k

= Xn k=1

a_k(z−λ)

k−1X

i=0

λ^k−i−1zⁱ= (z−λ) X

0¶i<k¶n

a_kλ^k−i−1zⁱ

= (z−λ) Xn−1

i=0

‚ _n X

k=i+1

a_kλ^k−i−1

Œ

zⁱ= (z−λ)Q(z) si on poseQ(z) = Xn−1

i=0

‚ _n X

k=i+1

a_kλ^k−i−1

Œ zⁱ. La fonctionQainsi dénichée est bien polynomiale, c’est fini !

2 P

Nous passerons plus vite sur les produits que sur les sommes — c’est pareil ! Pour toute famille (z_i)_i∈I de nombres complexes indexée par un ensembleFINII, le produit de tous les nombresz_i,idécrivantI, sera notéY

i∈I

z_i. Cette fois-ci, parconvention des produits vides: Y

i∈∅

z_i=1.

Exemple Pour toutα∈C: Yn k=m

α =

n−m+1fois

z }| {

α×α×. . .×α = α^n−m+1.

Définition (Factorielle) Pour toutn∈N^∗, on appellefactorielle noun factoriellel’entier : n!= Yn k=1

k=1×2×. . .×n.

Par convention : 0!=1. Relation de récurrence : Pour toutn∈N^∗: n!=n×(n−1)!.

Exemple nⁿ = Yn k=1

n =

nfois

z }| {

n×n×. . .×n. Ne pas confondre avec : n! = Yn k=1

k = 1×2×3×. . .×n.

Exemple (n+2)!

n! = n!×(n+1)(n+2)

n! = (n+1)(n+2).

$ Attention ! (2n)!=1×2×3×. . .×(2n−1)×(2n).

Rien à voir avec : 2×n!=2× 1×2×. . .×(n−1)×n

, ni avec : 2ⁿ×n!=2×4×6×. . .×(2n−2)×(2n).

Théorème (Simplification télescopique) Pour tousz_m, . . . ,z_n+1∈C^∗:

Yn

k=m

z_k+1 z_k = z_n+1

z_m .

Théorème (Permutation desQ

) Pour toute famille(z_{i j})₁¶i,j¶nde nombres complexes : Y

1¶i,j¶n

z_{i j}= Yn

i=1

Yn j=1

z_{i j}= Yn

j=1

Yn i=1

z_{i j}, Y

1¶i¶j¶n

z_{i j}= Yn

j=1

Yj i=1

z_{i j}= Yn

i=1

Yn j=i

z_{i j}, Y

1¶i<j¶n

z_{i j}= Yn

j=2 j−1

Y

i=1

z_{i j}=

n−1

Y

i=1

Yn j=i+1

z_{i j}.

Exemple Y

1¶i,j¶n

i j²

= Yn

i=1

Yn j=1

i j²

1²i×2²i×. . .×n²i

=iⁿ× 1×2×. . .×n2

= Yn

i=1



iⁿ Yn

j=1

j

!2

= Yn

i=1

€ iⁿn!²Š

1ⁿn!²×2ⁿn!²×. . .×nⁿn!²

= 1×2×. . .×nn

×(n!)²ⁿ

=

‚ _n Y

i=1

i

Œn

(n!)²ⁿ= (n!)ⁿ×(n!)²ⁿ= (n!)³ⁿ.

3 C

Définition-théorème (Coefficients binomiaux) Soientn∈Netk∈Z.

Triangle de Pascal

n k 0 1 2 3 4 5 · · ·

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

bbb bbb b

b

b

On appelle (coefficient binomial)k parmi net on note

n k

‹

le nombre de parties de cardinalkde l’ensemble¹1,nºsin∈N^∗— ou de l’ensemble∅sin=0.

— Évidemment :

n k

‹

=0 sik<0 ou sik>n.

— Si au contrairek∈¹0,nº:

n k

‹

= n!

k!(n−k)!= n(n−1)(n−2). . .(n−k+1)

k! .

En particulier :

n 0

‹

=1,

n 1

‹

=n et

n 2

‹

= n(n−1)

2 .

Plus généralement,

n k

‹

est le nombre de parties de cardinalkde tout ensemble de cardinaln, pas forcément¹1,nº. Démonstration Faisons l’hypothèse quek∈¹0,nºet montrons que

n k

‹

= n!

k!(n−k)!. Intéressons-nous pour cela aux familles dekéléments distincts de¹1,nº.

— Pour construire une famille quelconque(x₁, . . . ,x_k)dekéléments distincts de¹1,nº, on peut commencer par choisirx₁(npossibilités), puisx₂(n−1 possibilités maintenant que x₁est choisi), puis x₃(plus que n−2 possibilités). . . et enfin x_k (n−k+1 possibilités). Il existe ainsin(n−1). . .(n−k+1) = n!

(n−k)!

familles dekéléments distincts de¹1,nº.