COEFFICIENTS BINOMIAUX

1

COEFFICIENTS BINOMIAUX

A. Définition et premières propriétés 1) Définition

Pour tous entiers naturelsnetp, on appelle combinaison de pparmin(ou simplement pparmi n) le nombre noté ⁿ

p æ öç ÷

è øégal à

( ) ( )

( ) ( )

1 .... 1 !

si 0 ,

1 ...1 ! !

si , 0

n n n p n

p n

p p p n p

p n

ì - - +

£ £ =

ï - -

íï >

î

Remarque : ancienne notation ⁿ C_n^p p æ ö= ç ÷è ø 2) Propriétés

· , 1

0 n æ ön

" Î ç ÷=

¥è ø , et n 1 n æ ö= ç ÷è ø

· ^*,

1 n æ ön n

" Î ç ÷=

¥ è ø , et 1

n n

n

æ ö

ç - ÷=

è ø

· Pour tous entiers naturels netptels que 0£ £p n, ^{n n}

n p p

æ ö æ ö

ç - ÷ ç ÷=

è ø è ø

· Formule de Pascal, , , ¹

1 1

n n n

n p

p p p

æ ö æ ö æ + ö

" Î " Î¥ ¥ ç ÷ çè ø è+ + ÷ çø è= + ÷ø

Démonstration :

Pour tous entiers naturels netptels que 0£ + £p 1 n, on a 0£ £p n On peut écrire

(

^!

) ( ) (

^!

) (

^!

)

^{1 1}

1 ! ! 1 ! 1 ! ! 1 ! 1

n n n n n

p p p n p p n p p n p n p p

é ù

æ ö æ ö

+ = + = +

ç ÷ ç + ÷ - + - - - - ê - + ú

è ø è ø ë û

Donc

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) (

^{1 !}

)

¹

! 1 ! 1

1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 1 ! ! 1

n

n n n p n p n n n

p p p n p n p p p n p n p p p n p p

é ù + +

æ ö æ ö + + - + æ ö

+ = ê ú= ´ = =

ç ÷ ç + ÷ - - ê - + ú - - - + + - ç + ÷

è ø è ø ë û è ø

Si n= p , 1 1

1 0 1

1 1 1 1

n n p p p n

p p p p p p

+ +

æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö

+ = + = + = = ==

ç ÷ ç + ÷ ç ÷ ç + ÷ ç + ÷ ç + ÷

è ø è ø è ø è ø è ø è ø

Si n< p alors n< +p 1 et n+ < +1 p 1, 0 0 0 ¹

1 1

n n n

p p p

æ ö æ+ ö= + = ==æ + ö

ç ÷ ç + ÷ ç + ÷

è ø è ø è ø

2 Conséquence : triangle de Pascal

\

n p 0 1 2 3 4

0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

2 1 2 1 0 0

3 1 3 3 1 0

4 1 4 6 4 1

B. Lien avec le cours de terminale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues Le coefficient binomial ⁿ

p æ öç ÷

è øest le nombre de chemins conduisant à psuccès dans l’arbre modélisant une succession de népreuves de Bernoulli

Exemple : n=3

Il y a 1 chemin qui conduit à 0 succès : ³ 1 0 æ ö= ç ÷è ø

Il y a 3 chemins qui conduisent à 1 succès : ³ 3 1 æ ö= ç ÷è ø

Il y a 3 chemins qui conduisent à 2 succès : ³ 3 2 æ ö= ç ÷è ø Il y a 1 chemin qui conduit à 3 succès : ³ 1

3 æ ö= ç ÷è ø

3 Justifions la cohérence entre les deux définitions Pour tous entiers naturels netp

Notons s_{n p,} le nombre de chemins conduisant à psuccès dans l’arbre modélisant une succession de népreuves de Bernoulli (par convention s_0,0=1)

1) Montrer que " În ¥^*," Îp ¥^*,s_{n p,} =s_n-1,p +s_n-1,p-1

2) Pour nÎ¥, on considère la propriété

( )

: " , _{n p}, n "

P n p s

p

" Î = ç ÷æ ö

¥ è ø Montrer par récurrence que " În ¥, , _{n p,} n

p s

p

" Î = ç ÷æ ö

¥ è ø Démonstration :

Pour n2 etp1 , après népreuves de Bernoulli, il y a deux manières d’obtenir p succès

· Avoir obtenup après les n1 premières épreuves et obtenir un échec à lanème épreuve : cela donne s_{n1, p} possibilités

· Avoir obtenu^p1 après les ^n1 premières épreuves et obtenir un succès à la nème épreuve : cela donne s_{n1, p1} possibilités

On a donc la relation s_{n p,} =s_n-1,p+s_n-1,p-1

Cette relation reste vraie pour n1 si l’on convient que s_{0 0,} 1 et p 1,s_{0, p}0 (cette dernière égalité est naturelle car après 0 épreuve on a 0 forcément succès)

Conclusion : " În ¥^*," Îp ¥^*,s_{n p,} =s_n-1,p +s_n-1,p-1

( )

: " , _{n p}, n "

P n p s

p

" Î = ç ÷æ ö

¥ è ø

Initialisation :  p ¥^* , s_{0, p}0 et ⁰ 0 p

   

  

   , de plus s_{0 0,} 1 et ⁰ 1 0

  

  

   : P 0 est vraie Hérédité : soit n¥ , supposons , _{n p,} n

p s

p

" Î = ç ÷æ ö

¥ è ø Montrons que , _{n 1,p} n ¹

p s

+ p

æ + ö

" Î = ç ÷

è ø

¥

· Si p0 , ₀ 1

n , 0

s         n

· Si p1 , comme n 1 1 , utilisons la question 1 :

1, , , 1

1

n p n p n p 1

Pascal

n n n

s s s

p p p

+ -

æ ö æ ö æ + ö

= + =ç ÷ çè ø è+ - ÷ø = çè ÷ø

Conclusion : , , _{n p,} n

n p s

p

" Î " Î = ç ÷æ ö

¥ ¥ è ø

4

C. AUTRES PROPRIETES 1) Nature de "pparmin »

Pour tous entiers naturelsnetp, ⁿ p æ öÎ ç ÷è ø ¥

Si 0 , n ^*

p n p

£ £ æ öç ÷Î

è ø ¥ et si , n 0

p n p

> æ öç ÷= è ø

2) Formule de Pascal généralisée (exercice très classique)

Pour tous entiers naturels netptels que0 , ¹ 1

n

k p

k n

p n

p p

=

æ ö æ + ö

£ £

å

ç ÷ çè ø è= + ÷ø

Démonstration :

Première méthode : par récurrence sur n Soit ( ) : " ¹ "

1

n

k p

k n

P n ₌ p p

æ ö æ + ö ç ÷ ç= + ÷ è ø è ø

å

Initialisation : pour n=p, ¹

( )

1

p

k p

n p p

k p p P p

=

æ ö æ ö æ + ö

= = Þ

ç ÷ ç ÷ ç + ÷ è ø è ø è ø

å

^vraie

Hérédité :

Soit n³ p,supposons ^{P n}

( )

vraie, montrons que ^{P n}

(

⁺¹

)

vraie c’est-à-dire

1 2

1

n

k p

k n

p p

+

=

æ ö æ + ö ç ÷ ç= + ÷

è ø è ø

å

1 1 1 1 2

1 1

n n

k p k p

k k n n n n

p p p p p p

+

= =

+ + + +

æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö

= + = + =

ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç + ÷ ç ÷ ç + ÷

è ø è ø è ø è ø è ø è ø

å å

, d’après la formule de Pascal

Conclusion : 1

, 1

n

k p

k n

n p

p p

=

æ ö æ + ö

" ³

å

ç ÷ çè ø è= + ÷ø

Deuxième méthode par télescopage : Pour tous entiers naturels ket p, on a

1

1 1

1 1 1 1 ^{k k}

k k k k k k

v v

p p p p p p ⁺

+ +

æ ö æ+ ö æ= öÞæ ö æ= ö æ- ö= - ç ÷ ç + ÷ ç + ÷ ç ÷ ç + ÷ ç + ÷

è ø è ø è ø è ø è ø è ø , en posant

k 1 v k

p

æ ö

= çè + ÷ø

(

1

)

1

1 1

1 1 1

n n

k k n p

k p k p

k n p n

v v v v

p ^{+ +} p p p

= =

+ +

æ ö æ ö æ ö æ ö

= - = - = - =

ç ÷ ç + ÷ ç + ÷ ç + ÷

è ø è ø è ø è ø

å å

3) Formule du binôme de Newton

Pour tous complexes aetb, et pour tout entier natureln :

( )

0 0

n n

n k n k k n k

k k

n n

a b a b b a

k k

- -

= =

æ ö æ ö

+ = ç ÷ = ç ÷

è ø è ø

å å

5 Démonstration : par récurrence sur n

Soit

( )

0

( ) : " "

n n k n k

k

P n a b n a b

k

-

=

+ = æ öç ÷

å

è ø Initialisation : n=0

( )

⁰

0

0 0 0

0

1

0 0

0 1

k k

k

a b

a b a b

k

-

=

+ =

æ ö æ ö

= =

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

å

^{, doncP}

^{( )}

^{0 vraie}

Hérédité :

Soitn³0,supposons^{P n}

( )

vraie, montrons que ^{P n}

(

⁺¹

)

vraie c’est-à-dire

1

1 1

0

( ) 1

n

n k n k

k

a b n a b

k

+ + + -

=

æ + ö

+ = ç ÷

è ø

å

( )

¹

( ) ( ) ( )

0

n n n k n k

k

a b a b a b n a b a b

k

+ -

=

æ æ ö ö

+ = + ´ + =ççè

å

ç ÷è ø ÷÷ø´ +

En développant, on a

( )

^{1 1 1}

0 0

n n

n k n k k n k

k k

n n

a b a b a b

k k

+ + - + -

= =

æ ö æ ö

+ = ç ÷ + ç ÷

è ø è ø

å å

En changeant d’indice : K = +k 1dans la première somme, il vient :

( )

^{1 1 1 1}

1 1 0

n n

n k n k k n k

k k

n n

a b a b a b

k k

+ + + - + -

= =

æ ö æ ö

+ =

å

çè - ÷ø +

å

ç ÷è ø

On cherche à regrouper les deux sommes en une seule pour ^kΧ ¨^1,n

( )

^{1 1 0 1 1 0 1}

1 1 1 0

n n

n n k n k k n k n

k k

n n n n

a b a b a b a b a b

n k k

+ + + - + - +

= =

æ ö æ ö æ ö æ ö

+ =ç ÷è ø +

å

çè - ÷ø +

å

ç ÷è ø +ç ÷è ø

( )

^{1 1 0 1 0 1}

1

1

0

n n n k n k n

k

n n n

a b a b a b a b

n k

+ + + - +

=

æ ö æ + ö æ ö

+ =ç ÷ + ç ÷ +ç ÷

è ø

å

è ø è ø , en utilisant la formule de Pascal

Récupérons les termes extrêmes en remarquant que

1 0 1 1 0

1

n n

n n

a b a b

n n

+ + +

æ ö æ ö

ç ÷ =ç + ÷

è ø è ø et ^{0 1} 1 ^{0 1}

0 0

n n

n n

a b ⁺ + a b ⁺

æ ö æ ö

ç ÷ =ç ÷

è ø è ø

Finalement :

( )

^{1 1 0 1 0 1 1 1}

1 0

1 1 1 1

1 0

n n

n n k n k n k n k

k k

n n n n

a b a b a b a b a b

n k k

+ + + - + + + -

= =

+ + + +

æ ö æ ö æ ö æ ö

+ =çè + ÷ø +

å

çè ÷ø +çè ÷ø =

å

çè ÷ø

Conclusion :

( )

0

,

n n k n k

k

n a b n a b

k

-

=

" Î + = æ öç ÷

å

è ø

¥

Or

( ) ( )

0

,

n n n k n k

k

n a b b a n b a

k

-

=

" Î + = + = æ öç ÷

å

è ø

¥ , on a donc :

( )

0 0

n n

n k n k k n k

k k

n n

a b a b b a

k k

- -

= =

æ ö æ ö

+ = ç ÷ = ç ÷

è ø è ø

å å

Conséquence :

Pour tout réelx, et pour tout entier natureln :

( )

0

1

n n k

k

x n x

= k + = æ öç ÷

å

è ø

En attribuant au réelxn’importe quelle valeur, on obtient une infinité de formules Par exemple :

Pour x=1 et nΥ:

0

2

n n

k

n

= k

= æ öç ÷

å

è ø Pour x= -1 et n³1 :

( )

0

0 1

n k k

n

= k

= - æ öç ÷

å

è ø ^…..