L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚12 Matrices ` a coefficients r´ eels
Exercice 187 : Soient n, p∈N∗.
1. Soit A ∈ Mn,p(R). Soiti ∈J1, pK. On note ei le vecteur deRp qui a sa i-`eme composante ´egale `a 1 et toutes les autres nulles. On a donc :
ei=
0
... 0 1 0 ... 0
←i-`eme ligne
Identifier le vecteurAei.
2. Soient A, B∈ Mn,p(R). Montrer que :
(∀X ∈Rp, AX=BX) =⇒ A=B.
Exercice 188 1. Soient A=
1 −2
0 1
et B=
−1 2 3 0
deux matrices 2×2 `a coefficients r´eels.
(a) CalculerA2+ 2AB+B2. (b) Calculer (A+B)2.
(c) Comparer les r´esultats obtenus en 1.(a) et 1.(b).
2. Soient n∈N∗. SoientA, B∈ M(R). Montrer que :
AB=BA ⇐⇒ (A+B)2=A2+ 2AB+B2.
Exercice 189 1. SoitA=
−1 −1 −1
−1 0 0
2 0 1
.
(a) CalculerA3.
(b) En d´eduire queAest inversible et donnerA−1.
2. SoitA=
2 1 −4 0 1 −2 1 1 −3
.CalculerA3 et en d´eduire queAn’est pas inversible.
3. SoitA=
1 0 2
1 2 −2
1 −1 1
.
(a) CalculerA3−4A2+A+ 6I3.
(b) En d´eduire queAest inversible et donnerA−1.
1
F Exercice 190 : Soit A∈ Mn(R) o`u n∈N∗ et soit P =
k
X
i=0
aiXi un polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e k∈N∗ tel que P(A) = 0. On suppose que a06= 0.
Montrer queAest inversible et exprimerA−1 en fonction deAet des coefficients deP.
Exercice 191 : SoitA=
−5 2 2
−3 1 1
−9 4 4
.
1. ´Etudier l’inversibilit´e deA.
2. CalculerA2et A3.
3. En d´eduire la valeur deAn pour toutn∈N∗.
Exercice 192 : SoitA=
−1 0 1
0 0 0
1 0 −1
.
1. CalculerA2,A3,A4et ´enoncer une conjecture sur la valeur deAn pourn∈N∗ quelconque.
2. D´emontrer la conjecture faite en 1. par r´ecurrence.
Exercice 193 : Pour chacune des matrices suivantes, d´eterminer si elle est inversible et, dans l’affirmative, donner son inverse.
A=
2 5
−6 −16
B=
3 1 1 −2
C=
−2 5 6 −15
D=
0 −1 0
1 1 −1
−2 −1 0
E=
−2 0 2
−1 0 2 1 −2 3
F =
2 1 3
1 3 −1
3 −1 7
F Exercice 194 : Pour chacune des matrices suivantes, d´eterminer les valeurs du param`etre λ∈Rtel que la matrice n’est pas inversible.
Aλ=
3−λ −2 2
3 −2−λ 3
2 −2 3−λ
Bλ=
2−λ 1 −7
2 3−λ −8
2 2 −7−λ
Exercice 195 : Soient A=
−1 1 12
−2 2 12
−2 1 32
etP =
1 0 1
0 1 1
4 −2 1
.
1. Montrer queP est inversible et calculerP−1.
2. Calculer la matriceD telle queD=P−1AP. Qu’observe-t-on ? 3. Exprimer Aen fonction deP,D etP−1.
4. Montrer par r´ecurrence que : ∀n∈N∗ An =P DnP−1. 5. Soitn∈N∗. CalculerDn et en d´eduireAn.
2
