Feuille d’exercices n˚5 S´ eries ` a termes r´ eels

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚5 S´ eries ` a termes r´ eels

Exercice 69 (s´eries et sommes t´elescopiques)

1. Montrer qu’il existe un unique couple (a, b)∈R²tel que :

∀x∈R\

−1 2,1

2

1

4x²−1 = a

2x−1 + b 2x+ 1. On donnera les valeurs de aet b.

2. En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral 1

4n²−1 (≥0) est convergente. Calculer sa somme et son reste d’ordre 2.

Exercice 70 (s´erie g´eom´etrique d´eriv´ee et s´erie g´eom´etrique d´eriv´ee seconde) 1. Soitn∈N^∗. On consid`ere la fonctionf_n d´efinie par :

f_n:R\ {1} →R; x7→

n

X

k=0

x^k.

(a) Soitx∈R\ {1}. D´emontrer que :

fn(x) =1−xⁿ⁺¹ 1−x . (b) Justifier que la fonctionfn est deux fois d´erivable sur R\ {1}.

(c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede :

i. deux expressions def_n⁰(x) pour toutx∈R\ {1}; ii. puis deux expressions def_n⁰⁰(x) pour toutx∈R\ {1}.

2. Soitq∈]−1,1[.

(a) D´eduire de 1.(c).i que la s´erie de terme g´en´eral nqⁿ⁻¹ (n ∈ N^∗) est convergente et que sa somme vaut :

+∞

X

n=1

nqⁿ⁻¹= 1 (1−q)².

(b) D´eduire de 1.(c).ii que la s´erie de terme g´en´eral n(n−1)qⁿ⁻² (n∈N^≥2) est convergente et que sa somme vaut :

+∞

X

n=2

n(n−1)qⁿ⁻²= 2 (1−q)³.

Exercice 71 (´etude de quelques s´eries) :Etudier les s´´ eries de termes g´en´eraux suivants : (a) 7

3ⁿ −2ⁿ⁻¹

n! (n≥0) (b) n²+ 3n−7

2n²+ 3 (n≥0) (c) e⁻²ⁿ⁺¹ (n≥0)

(d) 1

n3ⁿ (n≥1) (e) ln(n)

n (n≥1) (f) (n−1)2ⁿ

n n! (n≥1) (g) n²

6ⁿ (n≥0) (h) (n²+ 1)10ⁿ

n! (n≥0) (i) e⁻ⁿ²(n≥0)

1

Exercice 72 (autour de la s´erie exponentielle) :Soitλ∈]0,+∞[.

1. Justifier que la s´erie de terme g´en´eral λ²ⁿ

n! (n≥0) est convergente et calculer sa somme.

2. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral λ²ⁿ

(2n)! (n≥0) est convergente et que :

+∞

X

n=0

λ²ⁿ

(2n)! = e^λ+e^−λ

2 .

3. En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral λ²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! (n≥0) est convergente et que :

+∞

X

n=0

λ²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! = e^λ−e^−λ

2 .

Exercice 73 (comparaison s´erie-int´egrale) 1. (a) Montrer que pour toutn∈N^≥2 :

1 n³ ≤

Z n

n−1

1 x³ dx.

(b) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral 1

n³ (n≥1) est convergente et donner une majoration de sa somme.

2. (a) Montrer que pour toutn∈N^∗ :

Z n+1

n

√1

x dx≤ 1

√n. (b) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral 1

√n (n≥1) est divergente.

Exercice 74 (esp´erance et variance d’une variable al´eatoire suivant une loi g´eom´etrique) : Soit p∈]0,1[. On poseq= 1−p.

1. (a) Montrer que la s´erie de terme g´en´eralnpqⁿ⁻¹ (n∈N^∗) est convergente.

(b) Exprimer sa somme, not´eeM1, en fonction dep.

2. (a) Montrer que la s´erie de terme g´en´eraln²pqⁿ⁻¹ (n∈N^∗) est convergente.

(b) Exprimer sa somme, not´eeM₂, en fonction depet q.

3. Montrer que : M2−(M1)²= q p².

Exercice 75 (esp´erance et variance d’une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson) : Soit λ∈]0,+∞[.

1. (a) Montrer que la s´erie de terme g´en´eralne^−λλⁿ

n! (n∈N) est convergente.

(b) Exprimer sa somme, not´eeM1, en fonction deλ.

2. (a) Montrer que la s´erie de terme g´en´eraln²e^−λλⁿ

n! (n∈N) est convergente.

(b) Exprimer sa somme, not´eeM₂, en fonction deλ.

3. Montrer que : M₂−(M₁)²=λ.

F Exercice 76 (crit`ere d’´equivalence pour les s´eries `a termes positifs)

1. Soient (un)n≥n0 et (vn)n≥n0 deux suites `a termes r´eels strictement positifs, telles queun ∼

n→+∞vn. (a) En revenant `a la d´efinition de la limite, montrer qu’il existe un certain rangn1≥n0 tel que :

∀n∈N^≥n1 1

2vn< un< 3 2vn.

(b) En d´eduire que les s´eries de termes g´en´erauxun (n≥n0) etvn (n≥n0) ont mˆeme nature.

2. Appliquer le r´esultat pr´ec´edent pour d´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral n+ ln(n)

2ⁿ (n≥1).

2