S´ eries de Fourier - Exercices
Exercice 1 Soit α un nombre r´eel et f la fonction p´eriodique de p´eriode 1, d´efinie par l’expression f(t) = cos(3α) cos(2πt) + sin(3α) sin(2πt)
1. D´eterminer les coefficients de Fourier def.
2. D´eterminer la valeur moyenne def et sa valeur efficace.
Exercice 2 Soitα un nombre r´eel, 0< α <1, etψ la fonction impaire et 2π-p´eriodique d´efinie par ψ(t) =
t si 0 6t6απ 0 si απ < t6π 1. Repr´esenter graphiquement la fonction ψ sur [−2π; 4π].
2. Ecrire la s´erie de Fourier associ´ee `aψ.
Exercice 3 Soit la fonction π-p´eriodique ϕ d´efinie par ϕ(t) = 1
2+
√2
4 cos(2nt)−5√ 2
6 sin(2nt) +
√6
8 cos(6nt) D´eterminer la valeur efficaceϕeff deϕ.
Exercice 4 On consid`ere la fonction f d´efinie sur IR, de p´eriode 2π telle que : f(t) =Ke−t si t∈[0; 2π[,
K ´etant une constante r´eelle positive.
1. On se propose de calculer les int´egrales I =
Z 2π
0
e−t cos(nt)dt et J = Z 2π
0
e−t sin(nt)dt o`un est un entier strictement positif.
a. Premi`ere m´ethode
En int´egrantI par parties, prouver que I = 1 nJ.
En int´egrantJ par parties, prouver que J = 1
n(1−e−2π)− 1 2I. En d´eduire les valeurs de I et J.
b. Deuxi`eme m´ethode Prouver que
Z 2π
0
ejnte−tdt= 1−e−2π
1−nj , o`uj est le nombre complexe de module 1 et d’argu- ment π
2.
En d´eduire les valeurs de I et J. 2. Calculer les coefficients de Fourier def.
Dans toute la suite, on suppose que K = π 1−e−2π. 3. Prouver que, si t6= 2kπ (k∈ZZ), on a :
f(t) = 1 2+
+∞
X
n=1
1
n2+ 1 cos(nt) + n
n2 + 1sin(nt)
Quelle est la somme de la s´erie de Fourier si t= 2kπ? 4. Dessiner le spectre de fr´equence de f.
Y. Morel - xymaths.free.fr S´eries de Fourier - Exercices 1/1
