SÉRIES ENTI ÈRES, SÉRIES DE FOURIER

(1)

1. S´eries enti`eres

1.1. Rayon de convergence d’une s´erie enti`ere.

Exercice 1.1.1. F

Soitd(n) le nombre de diviseurs de l’entier naturel non nuln. Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere :

+∞

X

n=1

d(n)zⁿ.

Exercice 1.1.2. F

Soit (an) une suite complexe v´erifiant :

∃h∈N^∗, ∃l∈R tels que lim

n→+∞

an+h

an

=l.

Quel est le rayon de convergence de

+P∞ n=0

anzⁿ?

Exercice 1.1.3. F Soit ⁺P^∞

n=0

anzⁿune s´erie enti`ere telle que le rayon de convergence de ⁺P^∞

n=0

a2nz²ⁿ soit R1 et le rayon de convergence de

+P∞ n=0

a2n+1z²ⁿ⁺¹ soit R2. Quel est le rayon de convergence de ⁺P^∞

n=0

a_nzⁿ?

Exercice 1.1.4. F

Soit α un r´eel tel que t 7→ (Arcsint)^α ∈ L¹(]0,1]), on pose In(α) = Z 1/n

0

(Arcsint)^αdt pour n∈N^∗.

Rayon de convergence et étude aux bornes de la série entière d’une variable réelle

+P∞ n=1

In(α)xⁿ.

Exercice 1.1.5. F T On pose I_n=

Z +∞ 0

dt

chⁿt, n ∈N^∗. (1) Calculer In.

(2) En d´eduire le rayon de convergence de

+P∞ n=1

Inxⁿ.

1

(2)

Exercice 1.1.6. F C (1) Montrer que, siRN =

Z 1 0

t^N+1

1−tlntdt, ∃M ^>0 tel que |RN|⁶ M N+ 1. (2) En d´eduire que

Z 1 0

lnt

1−tdt=−

+∞

X

n=1

1 n². Exercice 1.1.7. I

Soit ⁺P^∞

n=0

anzⁿ une série entière de rayon de convergence R. Étudier le rayon de convergence de

+P∞ n=1

bnzⁿ o`u

bn=

1 + 1 n

n²

n+ lnn n²

an.

Exercice 1.1.8. I

Déterminer le rayon de convergence des séries entières : 1. un= sinn

n xⁿ 2. un=

1 + (−1)ⁿ lnn

n²

xⁿ (n^>2).

Exercice 1.1.9. I

Trouver le rayon de convergence de la s´erie enti`ere :

+∞

X

n=1

ln

1 + (−1)ⁿ⁻¹

√n

xⁿ. Etude aux bornes de l’intervalle de convergence.´

Exercice 1.1.10. I

On donne 2 suites r´eelles (an) et (bn) telles que bn>0 et lim

n→+∞

an

bn

=λ. La s´erie

+P∞ n=0

bnzⁿ ayant un rayon de convergence infini.

Montrer que lim

t→+∞

₊_∞ P

n=0

antⁿ

₊_∞ P

n=0

bntⁿ

=λ.

Exercice 1.1.11. I

(1) (an) ´etant une suite complexe convergente, montrer alors que : (i) la s´erie

+P∞ n=0

a_n

n!tⁿ a un rayon de convergence infini, (ii) si F(t) =⁺P^∞

n=0

an

n!tⁿ alors lim

t→+∞e⁻^tF(t) = lim

n→+∞an. (2) Si

+P∞ n=0

cn est convergente (cn ∈C), on poseg(t) =

+P∞ n=0

cn

n!tⁿ. Montrer que :

x→lim+∞

Z x 0

e⁻^tg(t) dt=

+∞

X

n=0

cn.

(3)

1.2. Séries entières d’une variable réelle.

1.2.1. Résolution d’équations différentielles.

Exercice 1.2.1. F T

On considère l’équation différentielle (E) :

x²y^′′+ 4xy^′+ 2y= ln(1 +x).

(1) Déterminer les solutions de (E) développables en série entière au voisinage de 0.

(2) En donner une expression à l’aide des fonctions élémentaires.

Exercice 1.2.2. F

Déterminer les solutions développables en série entière de 4xy^′′+ 2y^′−y= 0.

Exercice 1.2.3. I C

Soit f la solution de l’équation différentielle (E) : y^′ = 1 +xy² définie sur un voisinage de 0, qui vérifie : f(0) = 0

(1) Montrer que sif admet pour développement en série entièref(x) =

+P∞ n=0

anx³ⁿ⁺¹ alors

(3n+ 1)an=

n−1

X

q=0

aqan−q−1. (2) Montrer que la suite (3ⁿan) est d´ecroissante.

(3) En d´eduire un minorant de son rayon de convergence R et conclure.

1.2.2. Recherche de développements en série entière.

Exercice 1.2.4. F T

Développer en série entière les fonctions suivantes : (1)F(x) = ln(x²+ 2x+ 4). (2) Fa(x) = 1

x² −2xcha+ 1. (3) G(x) = (1 +x²)(3 + 4 Arctanx).

(4)H(x) = (Arcsinx)². (5) I(x) = Z 2π

0

ln(1 +xsin²t) dt. (6) J(x) = sin(αArcsinx).

Exercice 1.2.5. F Soit z ∈C

(1) Montrer que la s´erie double z^2p

q^2p+2

(p,q)∈N×N∗

converge si |z|<1.

(2) Montrer que la somme de cette s´erie double vaut

+∞

X

n=1

1

n²−z², |z|<1.

(4)

(3) On verra dans le cours sur les s´eries de Fourier (cfquestion (i) page 294) que πcotanπx− 1

x =

+∞

X

n=1

2x x²−n².

Exprimer alors le développement en série entière deπcotanπx− 1

x `a l’aide des valeurs de la fonctionζ (on rappelle que ζ(x) =

+P∞ n=1

1

n^x pourx >1).

Exercice 1.2.6. F (1) Soit f(x) =

sin 1

x

e⁻^1/x² ; montrer par récurrence sur n que : f⁽ⁿ⁾(x) = [Pn(1/x) sin 1/x+Qn(1/x) cos 1/x]e⁻^1/x² oùP_n etQ_n sont des polynômes.

(2) En déduire quef est C^∞ en 0 mais que f n’est pas développable en série entière

Exercice 1.2.7. F T On pose f(x) =

Z +π

−π

e^i(t⁻^x^sin^t)dt.

(1) Montrer quef est `a valeurs r´eelles.

(2) En déduire le développement en série entière def.

Exercice 1.2.8. F

On considère la série entière dont la somme vaut √

1−x sur [-1,+1].

(1) Montrer qu’elle converge uniform´ement sur [-1,+1].

(2) En déduire l’existence d’une suite (Pn) de fonctions polynômes qui converge uni- formément vers |x| sur [-1,+1].

Exercice 1.2.9. F Soit A la matrice :



−1 0 0

0 −1 1

1 0 −1



. Trouver la somme de la série de terme général Un= (−1)ⁿ

n2ⁿ xⁿAⁿ.

Exercice 1.2.10. I

(1) Chercher les fonctions continues en 0 v´erifiant l’´equation :

(1) f(2x)−f(x) = Arctanx.

(2) En écrivant le développement en série entière de Arctanx, en déduire celui de f (rai- sonnement à bien justifier).

(5)

1.2.3. Sommation des s´eries enti`eres.

Exercice 1.2.11. F T

Rayon de convergence et somme des séries entières de terme général : 1. un=nxⁿ

2ⁿ 2. un = xⁿ

(2n)! 3. un= xⁿ

n(n+ 1) 4. un= x⁴ⁿ⁻¹

4n−1 (n ^>1) 5. un = n²+ 4n−1 n+ 4

xⁿ n!

Exercice 1.2.12. F

Soit (un) une suite vérifiant la relation de récurrence : un+2 = 2un+1−un. On considère la série de terme général un

xⁿ n!. Nature et somme de cette s´erie enti`ere.

Exercice 1.2.13. F

Etude et calcul de la somme´ f(x) de la série entière de terme général un = x³ⁿ

(3n)! (on pourra utiliser une équation différentielle ou une autre méthode).

1.2.4. D´enombrements.

Exercice 1.2.14. I C

Pour n∈N, on pose τ_n = Card{(n₁, n₂)∈N²|n = 2n₁ + 3n₂}. (1) Montrer que la s´erie enti`ere ⁺P^∞

n=0

τnzⁿ est le produit de deux séries entières simples. En déduire le rayon de convergence.

(2) Calculer τn.

Exercice 1.2.15. F C

D´eterminer la suite (un) d´efinie par u0 = 1 et pour tout n ^>0, par un+1 =

Xn n=0

upun−p.

Exercice 1.2.16. I T

On consid`ere la suite (an) d´efinie para0 =a1 = 1 et an+1 =an+ 2

n+ 1an−1

pourn ^>1.

(1) Encadrer la suite a_n

n². En d´eduire le rayon de convergence def(x) = ⁺P^∞

n=0

a_nxⁿ. (2) D´eterminer la sommef(x), en d´eduire une expression dean.

(6)

Exercice 1.2.17. I

On d´efinit la suite (an) par a0 = 1 et 2an+1 = Pn k=0

C_n^kakan−k.(1)

(1) Montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere S(x) =

+P∞ n=0

a_nxⁿ

n! n’est pas nul.

(2) CalculerS(x). En d´eduire l’expression dea_n ainsi que le rayon de convergence de S(x).

2. S´eries de Fourier

2.1. Coefficients de Fourier.

Exercice 2.1.1. F

Soit f une fonction 2π-p´eriodique, de classe C^∞ sur R.

(1) Donner la relation entrecp(f⁽ⁿ⁾) et cp(f) (on rappelle que cp(f) = 1 2π

Z 2π 0

e⁻^iptf(t) dt).

(2) On suppose que ∃M > 0, ∃k > 0, ∀n ∈ N, kf⁽ⁿ⁾k ⁶ Mkⁿ, que penser des coefficients cp(f) pour p > k?

2.2. Convergence en moyenne quadratique.

Exercice 2.2.1. F C

D´evelopper en s´erie de Fourier les fonctions suivantes : (1) F(x) = 16 + 4 cos 2x

17 + 8 cos 2x

(2) f impaire, 2π-périodique définie sur [0, π] parf(x) =x(π−x), en déduire :

+∞

X

p=0

(−1)^p (2p+ 1)³ et

+∞

X

n=1

1 n⁶. (3) g(x) =|sinx|, en d´eduire

+P∞ n=1

1 4n²−1 (4) h(t) = xsint

x²−2xcost+ 1 x6=±1.

Exercice 2.2.2. F

Montrer que, pour tout x∈[0,2π] : ⁺P^∞

n=1

cosnx n² = π²

6 − π 2x+1

4x². Exercice 2.2.3. F T

Soit l’application f :t∈R7→ |sin³t|.

(1) Déterminer la série de Fourier def ; étudier sa convergence.

(2) En utilisant la formule de Parseval, montrer que : π² = 256

45 +4608 5

+∞

X

n=1

1

(4n²−1)²(4n²−9)².

(7)

Exercice 2.2.4. I

Soit f ∈ C(R,R), 2π-périodique telle que sa restriction à tout intervalle est la différence de deux fonctions g eth croissantes (f est à variation bornée sur tout compact). On pose ω(a) =

sup

|x−y|6a|f(x)−f(y)|.

(1) Montrer qu’il existe A dans R tel que, pour toute subdivision x0 < x1 < . . . < x2n de [0,2π], on ait

2nP−1

k=0 |f(xk+1)−f(xk)|⁶A.

(2) Trouver un majorant ind´ependant de x (en fonction deωπ n

) de X2n

k=1

f

x+ kπ n

−f

x+(k−1)π n

2

.

(3) Montrer que Z 2π

0

h f

x+ π 2n

−f x− π

2n i2

dx⁶ πA n ωπ

n

. (4) Siω(a)⁶Ca^α o`uα >0, montrer que ∃B >0, |f(n)b |² ⁶ B

n^1+α. Exercice 2.2.5. I C

Soit f ∈ C¹(R,R), 2π-p´eriodique, telle que Z 2π

0

f(t) dt= 0.

Montrer que Z 2π

0

f²(t) dt⁶ Z 2π

0

f^′²(t) dt.

Cas d’´egalit´e ?

2.3. Convergence ponctuelle.

Exercice 2.3.1. I T

(1) Montrer que, pour toutt∈[−n, n],

(1) t=

+∞

X

p=0

(−1)^p8n

π²(2p+ 1)² sinπ

2n(2p+ 1)t . (2) On pose Pn(x) =

Pn k=0

λke^ikx. En rempla¸cant t par k, `a l’aide de la formule (1), dans l’expression deP_n^′(x), montrer que :

|P_n^′(x)|⁶n

+∞

X

p=0

8 π²(2p+ 1)²

Xn k=0

λke^ikxsinπ

2n(2p+ 1)k. (3) On note kPnk= sup

x∈[0,2π]|Pn(x)|, en déduire l’inégalité de Bernstein : kP_n^′k ⁶nkPnk. Exercice 2.3.2. I C

(1) ´Etudier la convergence de la s´erie f(x) =

+∞

X

k=−∞

exp

−(x−k)² 2t

o`ut >0. Montrer quef est de classe C¹.

(8)

(2) Montrer l’égalité suivante, valable pour toutx réel, pour toutt >0 :

+∞

X

k=−∞

exp

−(x−k)² 2t

=

+∞

X

n=−∞

√2πtexp(−2n²π²t+ 2iπnx).

Exercice 2.3.3. I Soit a >0.

(1) Chercher le domaine de d´efinition de f(t) =

+P∞ n=−∞

1

a²+ (t+nπ)². (2) Montrer quef est de classe C¹,π-p´eriodique.

(3) À l’aide du développement en série de Fourier de f, en donner l’expression à l’aide des fonctions usuelles. On admettra le résultat suivant :

Z +∞

−∞

e^2ixtdt a²+t² = π

ae⁻²^|^x^|^a. Exercice 2.3.4. I

Soit B l’ensemble des fonctions X de [0,1] dans C d´eveloppable en s´erie de Fourier sous la forme : X(s) =⁺P^∞

−∞

c_ne^2iπns avec P

|c_n| n∈Z convergente.

(1) Montrer que k.k :X ∈B 7→ kXk=

+P∞

−∞|cn| ∈R₊ est une norme sur B et que (B,k.k) est complet.

(2) Montrer que B est stable par produit.

Exercice 2.3.5. I C

Soit f :R→C de classe C² telle que f,f^′, f^′′ soient intégrables sur R. Établir l’égalité :

+∞

X

p=−∞

f(p) =

+∞

X

n=−∞

Z +∞

−∞

f(x)e^2iπnxdx

o`u ⁺P^∞

p=−∞

f(p) est, par définition, égal à ⁺P^∞

p=0

f(p) +⁺P^∞

p=1

f(−p) (ce qui signifie que les deux s´eries invoqu´ees sont convergentes).

On d´eveloppera en s´erie de Fourier la fonction g(x) =

+P∞ n=−∞

f(x+n).

Cette relation est appel´eeformule de Poisson.

Exercice 2.3.6. I Soit γ ∈[0,2π] tel que γ

π ∈/ Q,f continue sur R, 2π-p´eriodique.

Montrer que

n→lim+∞

1 n

n−1

X

k=0

f(x+kγ) = 1 2π

Z 2π 0

f(t) dt.

Peut-on étendre ce résultat au cas où f est seulement continue par morceaux ?

(9)

Exercice 2.3.7. I

Etudier l’int´egrabilit´e sur ]0, π[ de la fonction´ θ 7→ sin²θ

(1−2xcosθ+x²)(1−2ycosθ+y²). Calculer

F(x, y) = Z π

0

sin²θdθ

(1−2xcosθ+x²)(1−2ycosθ+y²) lorsque cette quantit´e est d´efinie.

Exercice 2.3.8. D C

Soit (an) une suite d´ecroissante de limite nulle.

Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :

• (i) la s´erie de fonctions S(x) =

+P∞ n=1

ansinnx converge uniform´ement sur R,

• (ii) la suite (nan) converge vers 0.

Indication 1.1.1 Penser `a encadrer d(n).

Indication 1.1.2 Si l6= 0 alors R=|l|⁻^1/h (reprendre le cours).

Indication 1.1.3 R = inf(R1, R2).

Indication 1.1.4 La fonction est int´egrable pour α > −1 puis on montre que In(α) =

1

(α+1)n^α+1 +O _nα+3¹

. Pour x= 1 : P

In C ssi α >0, pour x=−1, P

(−1)ⁿIn C ssi α >−1 Indication 1.1.5

(1) Poser cht = _cos¹_θ et se ramener `a des int´egrales de Wallis.

(2) In+2 = _n+1ⁿ In6In+1 6In⇒R = 1.

Indication 1.1.6 Ecrire que´ RN =R1

0 t^Ng(t) dto`ug est une fonction continue sur [0,1], majorer alors le reste de la s´erie P R1

0 tⁿlntdt

Indication 1.1.7 Montrer que bn= ¹_neⁿ⁻^1/2an(1 +o(1)) et en d´eduire que le rayon vaut ^R_e. Indication 1.1.8

1 R= 1 2 R= 0.

Indication 1.1.9 R = 1, la s´erie diverge pourx=±1.

Indication 1.1.10 Poser f(t) = P+∞

n=0a_ntⁿ

P+∞ n=0b_ntⁿ

, g(t) = P+∞

n=0b_ntⁿ, majorer

|an−λbn| `a partir d’un certain rang puis partager les sommes en 2.

Indication 1.1.11

(1) (an) est born´ee d’o`u R = +∞, si lim

n→+∞an = a, ´ecrire F(t) = ae^t + G(t) o`u G(t) =P+∞

n=0 an−a

n! tⁿ et montrer que G(t) =o(e^t).

(2) Posers_n=Pn

k=0c_k,s =P+∞

k=0c_k, F(t) =P+∞ n=0 sn

n!tⁿ. Indication 1.2.1

(1) On obtient an= n(n+1)(n+2)⁽⁻¹⁾ⁿ⁻¹ .

(2) Pour déterminer f, décomposer la fraction rationnelle n(n+1)(n+2)¹ d’où f(x) = ^(1+x)_2x2²

ln(1 +x)−¹₂

+³₄ −_2x¹ Indication 1.2.2 On obtient f(x) =a0ch√

xsi x^>0,a0cos√

−x six⁶0.

(10)

Indication 1.2.3

(1) Si on ´ecritf(x) =P+∞

n=1bnxⁿ on montre que b3r−1 =b3r = 0 et (3n+ 1)b_3n+1 =Pn−1

q=0 b_3q+1b_3(n₋_q₋₁₎₊₁.

(2) Poseran =b3n+1 etdn= 3ⁿan et montrer que (dn) est d´ecroissante.

(3) En d´eduire queR ^>√³

3 et conclure que f est bien développable en série entière.

Indication 1.2.4

(1) F(x) = 2 ln 2−P+∞ n=1

cos(2nπ/3) 2ⁿ⁻¹n xⁿ. (2) • Si a= 0 alorsFa(x) =P+∞

n=0(n+ 1)xⁿ R = 1.

• Si a >0 alors : Fa(x) =P+∞ n=0

sh(n+1)a

sha xⁿ, R=e⁻^a. (3) G(x) = 3(1 +x²) + 8P+∞

n=1

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

1−4n² R = 1.

(4) H(x) = P+∞ n=0

2²ⁿ(n!)²

(2n+2)!x²ⁿ⁺² R= 1.

(5) I(x) =P+∞ n=2

(−1)ⁿ⁻¹

n .²²ⁿ_(2n)!^(n!)²2πxⁿ. (6) J(x) =P+∞

n=0

((2n−1)²−α²)((2n−3)²−α²)(···)(1−α²)

(2n+1)! αx²ⁿ⁺¹. Indication 1.2.5

(1) Si|z|<1 majorer_q^2p+2^z^2p par |z|^2p_q¹². (2) P

(p,q)∈N×N∗ z^2p

q^2p+2 =P+∞ q=1 1

q²−z² grâce au théorème d’interversion de sommations.

(3) πcotanπx−_x¹ =−P+∞

p=02ζ(2p+ 2)x^2p+1.

Indication 1.2.6 On obtientPn+1 = 2X³Pn−X²P_n^′+X²Qn et Qn+1 = 2X³Qn−X²Q^′_n−X²Pn

puis f⁽ⁿ⁾(0) = 0.

Indication 1.2.7

(1) Partager l’int´egrale en 2 pour obtenir f(x) = 2Rπ

0 cos(t−xsint) dt.

(2) D´evelopper cos(t−xsint) et obtenir f(x) = 2πP+∞

n=0(−1)ⁿ₂2n(n!)^x²ⁿ⁺¹²(n+1). Indication 1.2.8 On a √

1−x = 1− ^x₂ −P+∞ n=2

(2n−2)!

2²ⁿ⁻¹n!(n−1)!xⁿ et la s´erie P

u_n converge. On pose ensuite Pn(x) =Sn(1−x²).

Indication 1.2.9 Ecrire´ A=−I+B pour calculer Aⁿ, on trouve alors P+∞

n=1U_n=



−a 0 0 c −a b b 0 −a



avec a= ln 1− ^x₂

, b= _x₋^x₂, c= ₂₍₂^x₋²_x)2. Indication 1.2.10

(1) Montrer quef(x) =P+∞

n=1Arctanx/2ⁿ+f(0).

(2) Chercher un D.S.E. comme avec les ´equations diff´erentielles pour trouver finalement f(x) =f(0) +P+∞

p=0

(−1)^p

(2p+1)(2^2p+1−1)x^2p+1. Indication 1.2.11 (1) R= 2 et P+∞

n=1un= ₍₂₋^2x_x)2. (2) R= +∞ et P+∞

n=0u_n =

(ch√

x six^>0, cos√

−x six <0 . (3) R= 1 et

+P∞ n=0

un= 1 + ¹⁻_x^xln(1−x).

(4) R= 1 et P+∞

n=1un= ¹₂₁

2ln^1+x₁₋_x −Arctanx . (5) R= +∞ et

+P∞ n=0

un= ^(x⁵⁻^x³^+3x²_x⁻4^6x+6)e^x⁻⁶. Indication 1.2.12

R = +∞ puis on montre que la somme vérifie l’équation différentielle y^′′−2y^′+y= 0.

(11)

Indication 1.2.13

R = +∞ et la somme vérifiey^′′′ =y d’où la somme f(x) = ê₃^x +²₃e⁻^x/2cos^x^√₂³. Indication 1.2.14

(1) C’est le produit de Cauchy des deux s´eriesP+∞

n=0z²ⁿ et de P+∞

n=0z³ⁿ,R = 1.

(2) ´Ecrire (1−z²)P+∞

n=0τnzⁿ = ₁₋¹_z3, on trouve alorsτ2n= 1 +E ⁿ₃

,τ2n+1 = 1 +E ⁿ⁻₃¹ . Indication 1.2.15 Reconnaˆıtre un produit de Cauchy, on trouve un = _n!(n+1)!^(2n)! .

Indication 1.2.16

(1) On montre que 1⁶an 6n²,R = 1.

(2) Montrer que (1−x)f^′(x)−f(x) = 2xf(x), on trouve f(x) = ₍₁^e₋⁻^2x_x)3 et enfin, utiliser le produit de Cauchy pour conclure an=Pn

p=0(−2)^p⁽ⁿ⁻^p+1)(n_2p!⁻^p+2). Indication 1.2.17

(1) R´e´ecrire la relation (1) pour faire apparaˆıtre un produit de Cauchy. R ^>1.

(2) Prouver que S²(x) = 2S^′(x) et conclure que an= n!

2ⁿ, R= 2.

Indication 2.1.1 La premi`ere question, c’est du cours, pour la deuxi`eme, on prouve que

|cp(f)|⁶M

k p

n

donc cp(f) = 0 sip > k.

Indication 2.2.1 (1) F(x) = P+∞

p=0 (−1)^p

2^2p cos(2px).

(2) f(x) = _π⁸ P+∞ p=0

sin(2p+1)x

(2p+1)³ puis P+∞ p=0

(−1)^p

(2p+1)³ = π³

32 etP+∞ n=1 1

n⁶ = ₉₄₅^π⁶ . (3) g(x) = ⁴_πh

1

2 −P+∞ n=1

cos(2nx) 4n²−1

i, P+∞ n=1 1

4n²−1 = ¹₂. (4) _x2 ^x^sin^t

−2xcost+1 =P+∞ n=1 sinnt

xⁿ (|x|>1).

Indication 2.2.2 Prolonger la fonction en une fonction 2π-p´eriodique paire, continue de classe C¹ par morceaux sur R et calculer an(f).

Indication 2.2.3

(1) bn = 0 eta2p+1 = 0, a2p = _π(4p2−1)(4p²⁴ ²−9) et la s´erie converge normalement.

(2) Parseval nous donne 2π×₁₆⁵ = _π¹2

16

9 ×2π+ 576P+∞ p=1

π (4p²−1)²(4p²−9)²

.

Indication 2.2.4 (1) On aP2n−1

k=0 |f(xk+1)−f(xk)|⁶g(2π)−g(0) +h(2π)−h(0).

(2) Utiliser l’in´egalit´eh

f x+^kπ_n

−f

x+^(k⁻_n^1)πi2

6ω(^π_n)|f(x+^kπ_n)−f(x+^(k⁻_n^1)π)|d’o`u P2n

k=1[f(x+^kπ_n)−f(x+^(k⁻_n^1)π)]² ⁶Aω ^π_n .

(3) Utiliser la relation de Chasles, poser g(x) = [f(x+ _2n^π ) −f(x − _2n^π)]² pour obtenir R2π

0 g(x) dx⁶ ^Aπ_n ω ^π_n .

(4) Poser h(x) = f(x+ _2n^π)− f(x− _2n^π ) puis bh(p) = 2ifb(p) sin(^pπ_2n) et appliquer la relation de Parseval `a h _2π¹ R2π

0 |h(x)|²dx ⁶ ^ACπ_2n1+α^α. Avec B = ^ACπ₈ ^α, majorer |fb(n)|² par P

p∈Z|fb(p)|²sin²(^pπ_2n.

Indication 2.2.5 Remarquer que |fb^′(n)|=|n|.|fb(n)|^>|fb(n)| pour|n|^>1.

Indication 2.3.1

(1) Développer en série de Fourier la fonction impaire définie sur [0, π] par f(x) =

(x six⁶ ^π₂

π−x six^> ^π₂ et poser t= ^2nx_π . (2) ´Ecrire queP_n^′(x) =nP+∞

p=0

(−1)^p8i π²(2p+1)²

Pn

k=0λke^ikxsin _2n^π(2p+ 1)k .

(12)

(3) Utiliser la formule sin(_2n^π (2p+1)k) = _2i¹ eik(2p+1)π/(2n)−e⁻ik(2p+1)π/(2n)

et la majoration Pⁿ_k=0λke^ikxsin(_2n^π (2p+ 1)k)

6 ¹

2

Pⁿ_k=0λ_kexp

ik(x+ (2p+ 1)_2n^π )+Pⁿ_k=0λ_kexp

ik(x−(2p+ 1)_2n^π) Indication 2.3.2

(1) Écrire la somme en deux parties et vérifier la convergence normale des séries et des séries dérivées sur tout intervalle [−a,+a] oùa >0.

(2) f est 1-p´eriodique et fb(n) =√

2tR+∞

−∞ exp(−u²−2inux) duavec x=π√ 2t.

ϕ(x) =R+∞

−∞ exp (−u²−2inux) du est de classe C¹ puis ϕ^′(x) =−2n²xϕ(x).

Indication 2.3.3

(1) f est définie sur R et on vérifie que f est π-périodique.

(2) Poser un(t) = _a2+(t+nπ)¹ ² et montrer la convergence normale des s´eries P+∞

n=0u^′_n(t) et P0

n=−∞u^′_n(t).

(3) Montrer quefb(k) = ¹_πR+∞

−∞

e⁻^2iktdt

a²+t² , puisf(x) = ¹_πP+∞ k=−∞

R+∞

−∞

e⁻^2iktdt a²+t²

e^i2kx et finalement f(x) = ¹_a_{ch 2a}^{sh 2a}₋_{cos 2x}.

Indication 2.3.4

(1) k.kest une norme : classique, prendre ensuite une suite de Cauchy (X_p) deB : X_p(s) = P+∞

n=−∞cn,pe^2iπns, pour tout n, la suite cn,p converge vers dn. On montre alors que Y =

+P∞ n=−∞

dne^2iπns est un ´el´ement de B et que lim

p→+∞Xp =Y. (2) Poser X = P

n∈Zcnεn et Y = P

n∈Zdnεn o`u εn(s) = e^i2πns et montrer que P

|cpdn−p| p ∈ Z converge. Montrer ensuite que, avec en = P

p∈Zcpdn−p, P

|en| n ∈ Z converge.

Poser finalement Z =P+∞ n=−∞

P+∞

p=−∞cpdn−p

εn∈B et montrer queZb(n) =XYd(n).

Indication 2.3.5 On montre que la s´erieg(x) =P+∞

n=−∞f(x+n) converge uniformément ainsi que la série des dérivées, queg est 1-périodique puis on montre quebg(k) =R+∞

−∞ f(u)e⁻^2iπkudu ce qui permet de conclure.

Indication 2.3.6 On prouve la validité de ce résultat pour les polynômes trigonométriques et on l’étend par densité au fonctions continues.

Indication 2.3.7 Se limiter au cas où |x| < 1 et |y| < 1 puis développer ₁₋_2x^sin_cos^θ_θ+x2 en série de Fourier et pour calculer chaque intégrale, on développe à nouveau en série de Fourier d’où F(x, y) = ₂₍₁₋^π_xy) pour|x|<1,|y|<1.

Indication 2.3.8 Pour montrer que (i)⇒(ii), on pose ∆n(x) =P2n

k=naksinkxpuis on prouve que ∆n

π 2n

> ^na²ⁿ

2 .

Pour (ii)⇒(i) on poseSn(x) =Pn

k=1sinkxque l’on majore, pour x∈]0, π] par|Sn(x)|⁶ sin¹^x₂

et |Sn(x)|⁶n. On utilise alors la transformation d’Abel Xn+p

k=n

aksinkx=

n+pX−1 k=n

(ak−ak+1)Sk(x)−anSn−1(x) +an+pSn+p(x).

On a alors la convergence simple de cette s´erie sur R.

Pour la convergence uniforme, on majore Rn(x) =P+∞

k=n+1aksinkx en prenant ε >0 et N tel que n ^>N ⇒ nan 6 ε, pour x ∈]0, π[, on pose nx =E(π/x) et on distingue les cas nx < n et N ⁶n ⁶nx.

(13)

1. Solutions :

Solution 1.1.1 Comme 1 ⁶ d(n) ⁶ n alors R = 1 (on utilise la remarque 7.1.3 page 282 en remarquant que les s´eries P

xⁿ etP

nxⁿ ont un rayon de convergence ´egal `a 1).

Solution 1.1.2

+P∞ n=0

anzⁿ est la somme de h s´eries enti`eres

+P∞ n=0

ap+nhx^p+nh de rayon de convergence |l|⁻^1/h (c’est la généralisation du résultat de la remarque 7.1.3 (vii) page 282) donc R ^>|l|⁻^1/h (théorème 7.5 page 283).

• Sil = 0 : R= +∞,

• sil 6= 0 alorsR =|l|⁻^1/h (utiliser la d´emonstration de laremarque 7.1.3(vii)page 282).

Solution 1.1.3 On a : R= inf(R1, R2) car,

• si|z|< R, lim

n→+∞anzⁿ = 0 (cf remarque 7.1.3 (vi) page 282)

• et siP |z|> R, l’une des 2 suites (a2nz²ⁿ) ou (a2n+1z²ⁿ⁺¹) ne tend pas vers 0 donc la série a_nzⁿ diverge (et on applique lethéorème 7.2 page 281).

Solution 1.1.4 ϕ :t 7→(Arcsint)^αest intégrable ssiα >−1 car, au voisinage de 0, Arcsint ∼t, et on applique la règle pratique d’intégrabilité(i) page 262.

Ensuite on ´ecrit (Arcsint)^α=t^α+O(t^α+2) d’o`u In(α) = 1

(α+ 1)n^α+1 +O 1

n^α+3

. En effet

Z 1/n 0

O(t^α+2) dt ⁶M

Z 1/n 0

t^α+2dt= M α+ 3

1 n^α+3. On a donc R= 1.

• Pourx= 1 : P

In C ssi α >0 (c’est la r`egle de Riemann page 240).

• Pourx=−1, P

(−1)ⁿIn C ssi α >−1 ((In)ց de manière évidente) (en appliquant le théorème des séries alternéesthéorème 5.33 page 239).

Solution 1.1.5

(1) On pose cht= 1

cosθ (θ ∈[0, π/2[) et donc : tht

2 = tanθ

2, dt= dθ cosθ : I_n =

Z π/2 0

cosⁿ⁻¹θdθ : I_2p+1 = (2p)!

(2^pp!)² π

2 ; I_2p+2 = (2^pp!)²

(2p+ 1)! (int´egrales de Wallis).

(2) On sait que In+2 = n

n+ 1In 6In+1 6In⇒ lim

n→+∞

In+1

I_n = 1⇒R = 1.

Solution 1.1.6 (1) RN =

Z 1 0

t^Ng(t) dt, g est une fonction continue sur [0,1] donc born´ee d’o`u ∃M = sup

t∈[0,1]|g(t)| et par cons´equent |RN|⁶M Z 1

0

t^N dt.

(2) lnt

1−t = P^N

n=0

tⁿlnt+ t^N+1

1−tlnt ⇒ Z 1

0

lnt

1−tdt=− XN n=0

1

(n+ 1)² +R_N d’o`u le r´esultat.

(14)

Remarque : on peut prouver avec cette relation que Z 1

0

lnt

1−tdt=−π² 6 . Solution 1.1.7 On a :

1 + 1

n n²

n+ lnn n²

= exp

n²ln

1 + 1 n

× 1

n +lnn n²

= exp

n² 1

n − 1 2n² +O

1 n³

× 1

n +lnn n²

= 1

neⁿ⁻^1/2(1 +o(1)) d’o`ubn∼ 1

neⁿ⁻^1/2ani.e. P

bnzⁿa mˆeme rayon de convergence queP 1

neⁿ⁻^1/2anzⁿ(cfremarque 7.1.3 (ii) page 282) donc même rayon que sa dérivée :

+P∞ n=1

e⁻^1/2an(ez)ⁿ qui vaut R e.

Remarque : on obtenait ce r´esultat directement avec la formule d’Hadamard (cfremarque 7.1.3 (iii) page 282) et avec quelques connaissances sur les limites sup´erieures.

Solution 1.1.8

• On a |un|⁶ |x|ⁿ

n donc R^> 1 et comme {sinn} est dense dans [−1,1] alors sinn n xⁿ est non bornée pour x >1 i.e. R= 1 (on a utilisé la remarque 7.1.3 (i) et le théorème 7.2 page 282) (ou on dit que R=R

P

sinnxⁿ

et comme sinn 6→0 alors R⁶1.

• On a lnan=n²ln

1 + (−1)ⁿ lnn

: lim

n→+∞a2n+1 = 0, lim

n→+∞a2n= +∞ et pour toutx6= 0

n→lim+∞a2nx²ⁿ= +∞(car ln(|a2n|x²ⁿ) = 2nln|x|+ 4n²ln(1 +_ln(2n)¹ →+∞) donc R= 0.

Solution 1.1.9 On a

a_n= ln

1 + (−1)ⁿ⁻¹

√n

= (−1)ⁿ⁻¹

√n − cn

2n o`u lim

n→+∞cn = 1 donc |an| ∼ 1

√n et par cons´equent R = 1 (on utilise la remarque 7.1.3 (ii) page 282).

• Six= 1 ⁺P^∞

n=1

an =⁺P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

√n (converge) −⁺P^∞

n=1

cn

2n (diverge).

• Six=−1an(−1)ⁿ ∼ − 1

√n diverge.

Conclusion : il y a convergence sur ]-1,+1[.

Solution 1.1.10 Le rayon de convergence de ⁺P^∞

n=0

anzⁿ est infini. On pose f(t) =

+∞

X

n=0

a_ntⁿ

! X+∞ n=0

b_ntⁿ

!

, g(t) =

+∞

X

n=0

b_ntⁿ

(15)

alors, comme∀ε >0, ∃p: n^>p⇒ |an−λbn|⁶ ε

2bn, en ´ecrivant :

|f(t)−λ|⁶

p−1

X

n=0

(a_n−λb_n)tⁿ

/g(t) +

+∞

X

n=p

(a_n−λb_n)tⁿ /g(t) et en utilisant le fait que lim

t→+∞

pP−1 n=0

(an−λbn)tⁿ

/t^p = 0 et donc que

∃T :t ^>T ⇒

p−1

X

n=0

(an−λbn)tⁿ

/g(t)⁶ ε 2 on peut dire que

∀ε >0, ∃T, t^>T ⇒ |f(t)−λ|⁶ε et en conclusion, on a bien prouv´e que lim

t→+∞

₊_∞ P

n=0

antⁿ

₊_∞ P

n=0

bntⁿ

=λ.

Remarque : ceci s’apparente au théorème de Césaro.

Solution 1.1.11

(1) Comme (an) est convergente, elle est born´ee par A d’o`u :

an

n!tⁿ⁶A|t|ⁿ

n! ⇒R= +∞ (on utilise laremarque 7.1.3 (i) page 282).

Si lim

n→+∞a_n=a, en ´ecrivantF(t) =ae^t+G(t) o`uG(t) =⁺P^∞

n=0

an−a

n! tⁿ et comme∀ε >0,

∃N, ∀n ^>N : |an−a|⁶ ε 2 on a

|G(t)|⁶

NX−1 n=0

an−a n! tⁿ

+ ε

2e^t. Or lim

t→+∞e⁻^t

NP−1 n=0

an−a n! tⁿ

= 0 d’o`u∃T, t^>T ⇒e⁻^t

NP−1 n=0

an−a n! tⁿ

⁶ ε

2. Conclusion : en rassemblant ces r´esultats, on a bien lim

t→+∞e⁻^tF(t) = lim

n→+∞an.

Remarque : on pouvait utiliser l’exercice 1.1.10 qui donnait imm´ediatement la r´eponse.

(2) On poses_n= Pⁿ

k=0

c_k, s= lim

n→+∞s_n =⁺P^∞

k=0

c_k,F(t) =⁺P^∞

n=0

s_n

n!tⁿ alors : F(t) = F^′(t)−g^′(t)

d’o`u Z x

0

e⁻^tg(t) dt=e⁻^x[F(x)−g(x)] et par cons´equent

x→lim+∞

Z x 0

e⁻^tg(t) dt = lim

x→+∞e⁻^xF(x)− lim

x→+∞e⁻^xg(x) = s.

(16)

Remarque : si P

cn est absolument convergente alors on peut utiliser leth´eor`eme 5.55 page 253. P R+∞

0

cne⁻^ttⁿ n!

dt converge d’o`u

x→lim+∞

Z x 0

e⁻^tg(t) dt = Z +∞

0

e⁻^tg(t) dt

=

+∞

X

n=0

c_n Z +∞

0

e⁻^ttⁿ n!dt

=

+∞

X

n=0

cn.

Solution 1.2.1

(1) On cherche les solutions de (E) sous la formef(x) =

+P∞ n=0

anxⁿ alors x²f^′′(x) + 4xf^′(x) + 2f(x) =

+∞

X

n=0

(n+ 2)(n+ 1)a_nxⁿ=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n xⁿ d’o`u an = (−1)ⁿ⁻¹

n(n+ 1)(n+ 2) grâce à l’unicité du développement en série entière (cf pro- position 7.1.1 page 284).

(2) Pour d´eterminer f, on d´ecompose la fraction rationnelle 1

n(n+ 1)(n+ 2) = 1

2n − 1

n+ 1 + 1 2(n+ 2) d’o`u :

f(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ 2n xⁿ

| {z }

=g(x)

−

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n+ 1 xⁿ

| {z }

=h(x)

+

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ 2(n+ 2)xⁿ

| {z }

=i(x)

= (1 +x)² 2x²

ln(1 +x)− 1 2

+ 3 4− 1

2x car g(x) = 1

2ln(1 +x), h(x) =−1

x(ln(1 +x)−x) et i(x) = 1

2x²(ln(1 +x)−x+ x² 2 ).

On pouvait remarquer plus simplement que (E) ⇔ (x²y)^′′ = ln(1 +x) et le problème se ramenait à trouver une primitive seconde de ln(1 +x) et on trouve ainsi toutes les solutions de cette équation différentielle.

Solution 1.2.2 On cherche donc les solutions développables en série entière y=

+∞

X

n=0

anxⁿ ×(−1)

y^′ =

+∞

X

n=0

nanxⁿ⁻¹ ×2

y^′′ =

+∞

X

n=0

n(n−1)a_nxⁿ⁻² ×4x

(17)

(on a ´ecrit des coefficients pour x⁻¹ et pour x⁻² mais ils sont nuls et cela permet d’´eviter de distinguer certains cas).

Le coefficient de xⁿ pour tout n de Nest donc nul et il vaut

−an

|{z}−y

+ 2(n+ 1)an+1

| {z }

2y^′

+ 4(n+ 1)nan+1

| {z }

4xy^′′

(on a précisé l’intervention de chaque quantité de l’équation différentielle). On trouve alors an = a0

(2n)! ce qui correspond à une série entière de rayon infini.

Finalement, on obtient

f(x) =

(a0ch√

x six^>0 a0cos√

−x six⁶0. Solution 1.2.3

(1) ´Ecrivons f(x) =

+P∞ n=1

bnxⁿ (|x| < R) et cn =

nP−1 p=1

bpbn−p alors f(x)² =

+P∞ n=2

cnxⁿ en faisant le produit de Cauchy du d´eveloppement def par lui-mˆeme. On obtient alors

(E) ⇔b1 = 1, b2 =b3 = 0, (n+ 2)bn+2 =cn ;

on montre alors, par une récurrence immédiate surr, que : b3r−1 =b3r = 0 d’où (3n+ 1)b3n+1 =

n−1

X

q=0

b3q+1b3(n−q−1)+1. (2) Si on posean =b3n+1 etdn= 3ⁿan alors : d0 = 1, d1= 3

4 et (3n+ 1)dn= 3

n−1

X

q=0

dqdn−q−1 = 3dn−1+ 3

n−1

X

q=1

dqdn−q−1. Par r´ecurrence :

• On a d1 6d0,

• puis, si on suppose dq 6dq−1 pour tout q⁶n alors (3n+ 1)dn63dn−1+ (3n−2)dn−1

en majorantdqdn−q−1 par dq−1dn−q−1. On a bien prouv´e que (d_n) est d´ecroissante.

(3) On en d´eduit alors R ^> √³

3. En effet, la suite (dn) est d´ecroissante et minor´ee donc elle admet une limite l ⁶1. On a donc an 6 1

3ⁿ et la s´erie enti`ere Px³ⁿ⁺¹

3ⁿ admet un rayon de convergence ´egal `a √³

3 (s’inspirer de la remarque 7.1.3 (vii) page 282) donc Pa_nx³ⁿ⁺¹ a un rayon de convergence ^>√³

3 (mˆeme remarque (i).

Conclusion : grâce à l’unicité de la solution d’une équation différentielle (théorème de Cauchy-Lipschitzthéorème 8.8 page 303 alors l’équation (E) n’ayant qu’une solution développable en série entière en 0 vérifiant y(0) = 0, on en déduit que f est bien développable en série entière.