S´eries enti`eres

(1)

S´eries enti`eres

Table des mati` eres

1 Convergence simple d’une s´erie enti`ere 2

1.1 Les s´eries enti`eres formelles . . . 2

1.2 Rayon de convergence . . . 3

1.2.1 D´efinition . . . 3

1.2.2 Calcul du rayon de convergence . . . 4

1.2.3 Rayon d’une somme, d’un produit, de la d´eriv´ee . . . 6

2 Convergence uniforme d’une série entière 7 2.1 Continuité . . . 7

2.2 Int´egration . . . 8

2.3 D´erivation . . . 9

3 Développement en séries entières 10 3.1 Fonctions développables . . . 10

3.1.1 variable r´eelle . . . 10

3.1.2 Variable complexe . . . 12

3.2 Développement en série entière des fonctions usuelles . . . 12

3.2.1 Les fractions rationnelles . . . 12

3.2.2 Le logarithme . . . 12

3.2.3 Les fonctions puissances . . . 14

3.2.4 Récapitulatif . . . 15 4 Fonctions génératrices d’une variable aléatoire 17

(2)

Séries entières 1 Convergence simple d’une série entière

1 Convergence simple d’une s´ erie enti` ere

1.1 Les s´ eries enti` eres formelles

Définition. On appelle série entière d’une variable complexe (respectivement : d’une variable réelle) toute série d’applications P

f_n o`u pour tout n∈N, f_n est de la forme f_n: C −→ C

z 7−→ a_nzⁿ (respectivement : f_n: R −→ C

t 7−→ a_ntⁿ), avec a_n ∈C. Par abus de notation, la s´erie d’application P

f_n est souvent d´esign´ee par P a_nzⁿ (respectivement : P

a_ntⁿ).

Remarque. X

(z+ 2)ⁿ n’est pas une série entière de la variablez. C’est une série entière en fonction de la quantitéZ =z+ 2.

En toute rigueur, X

z²ⁿ n’est pas non plus une s´erie enti`ere, mais on conviendra que X

z²ⁿ désigne la série entière X

a_nzⁿ, o`u a_n=

0 si n est impair 1 si n est pair . C’est coh´erent, car, pour toutz ∈C, les deux s´eries X

z²ⁿ estX

a_nzⁿ sont de mˆeme nature et en cas de convergence, elles ont la mˆeme somme.

Plus g´en´eralement, si ϕ : N−→ N est une application strictement croissante, on conviendra queX

anz^ϕ(n)désigne la série entièreX

bnzⁿo`ubn=

0 si n /∈ϕ(N) a_p si n =ϕ(p) . Ainsi, par exemple, X

z^n! est une s´erie enti`ere.

Propriété. Notons SE(C) l’ensemble des séries entières d’une variable complexe.

C’est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des séries d’applications F(C,S(C)). De même, SE(R) est un sous-espace vectoriel de F(R,S(C)). On sait ainsi sommer deux séries entières et multiplier une série entière par un scalaire.

D´emonstration.

Soient P

fn et P

gn deux séries entières respectivement associées aux suites de complexes (a_n) et (b_n). Soit (α, β)∈C². La série d’applicationsαP

f_n+βP

g_n est ´egale

` a P

(αf_n+βg_n), or pour tout n∈N et pour tout z ∈C, (αfn+βgn)(z) = (αan+βbn)zⁿ, donc αP

fn+βP

gn∈SE(C).

De plus, SE(C)6=∅, donc SE(C) est un sous-espace vectoriel de F(C,S(C)).

Propriété. Le produit de Cauchy de deux séries entières est une série entière.

Plus pr´ecis´ement, le produit de Cauchy de P

anzⁿ avec P bnzⁿ est la s´erie enti`ere X

n n

X

k=0

a_kbn−k

! zⁿ. D´emonstration.

Soitz ∈C. Le produit de Cauchy des deux s´eries de complexesP

a_nzⁿetP

b_nzⁿvaut X

n n

X

k=0

(a_kz^k)(bn−kz^n−k)

!

=X

n n

X

k=0

a_kbn−k

! zⁿ.

´

(3)

Séries entières 1 Convergence simple d’une série entière Exercice. En notant “×” le produit de Cauchy, montrer que (SE(C),+, .,×) est uneC-algèbre commutative. C’est l’algèbre des séries entières formelles.

Montrer queP

anzⁿ est inversible dans SE(C) si et seulement si a0 6= 0.

Montrer queC[X] est une sous-alg`ebre de SE(C).

Notation. Pour toute la suite de la partie C), on fixe une suite (a_n)n∈N de complexes.

Définition. La dérivée de la série entière P

anzⁿest la s´erie enti`ereP

(n+ 1)an+1zⁿ.

1.2 Rayon de convergence

1.2.1 D´efinition

Lemme d’Abel. Soitρ∈R^∗+ tel que la suite (|a_n|ρⁿ)n∈Nest born´ee. Pour toutz ∈C, a_nzⁿ=O

|z|

ρ n

.

En particulier, lorsque |z| < ρ, la s´erie de complexes P

a_nzⁿ est absolument convergente et même, elle converge plus rapidement qu’une série géométrique dont la raison appartient à [0,1[.

D´emonstration.

Soit M un majorant de (|a_n|ρⁿ)n∈N. Soient z ∈C etn ∈N.

|a_nzⁿ|=|a_nρⁿ||z|

ρ n

≤M|z|

ρ n

.

D´efinition. Il existe un unique R ∈ R+ tel que pour tout complexe z, si |z| < R, Pa_nzⁿ converge et si |z|> R,P

a_nzⁿ diverge.

R est appelé le rayon de convergence de la série entière P a_nzⁿ. Plus précisément, si |z|< R,P

a_nzⁿ converge

au moins aussi rapidement qu’une série géométrique dont la raison est dans [0,1[, et si |z|> R, la suite (a_nzⁿ)n∈N n’est pas bornée.

D´emonstration.

• L’ensemble A des réels t ∈ R+ tels que la suite (|a_n|tⁿ)n∈N est bornée est non vide car il contient 0. Ainsi A admet une borne supérieure dans R⁺. Notons ρ cette borne supérieure et montrons que ρ convient.

Soit z ∈ C tel que |z| < ρ. Il existe ρ⁰ ∈ A tel que |z| < ρ⁰ ≤ ρ. D’apr`es le lemme d’Abel,a_nzⁿ =O

|z|

ρ⁰ n

, doncP

a_nzⁿ converge au moins aussi rapidement qu’une série géométrique dont la raison est dans [0,1[.

Soit z ∈ C tel que |z| > ρ. Par d´efinition de ρ, la suite (|anzⁿ|) n’est pas born´ee.

Ainsi cette suite ne converge pas vers 0, donc la s´erie P

a_nzⁿ diverge grossi`erement.

• Il reste à établir l’unicité. Soit S ∈ R+ tel que pour tout complexe z, si |z| < S, Panzⁿ converge et si |z|> S, P

anzⁿ diverge.

Si S < R, il existe T ∈ R tel que S < T < R. AlorsP

a_nTⁿ est `a la fois convergente et divergente, ce qui est faux. On raisonne de mˆeme si R < S, doncS =R.

(4)

Séries entières 1 Convergence simple d’une série entière Définition. Notons R le rayon de convergence de la série entière P

a_nzⁿ.

{z ∈ C/|z| < R} est appelé le disque (ouvert) de convergence. Il est égal à C si et seulement siR= +∞.

{z ∈C/|z|=R} est appel´e le cercle de convergence.

]−R, R[ est appel´e l’intervalle (ouvert) de convergence.

Remarque. Sur le disque ouvert de convergence, la s´erie enti`ere converge simplement.

A l’extérieur du disque fermé de convergence, la série entière diverge. Cependant, sur le cercle de convergence, le comportement de la série entière est inconnu.

En effet, X zⁿ

n^α converge simplement sur le cercle lorsqueα >1 mais diverge grossi`erement en tout point du cercle lorsqueα <0.

Pour cette raison, l’appellation classique de “cercle de convergence” n’est pas tr`es heu- reuse. C’est pourquoi, nous utiliserons parfois l’appellation de “cercle d’ incertitude”.

Remarque. Si la s´erie enti`ere est absolument convergente en un point du cercle de convergence, elle est absolument convergente en tout point du cercle de convergence.

1.2.2 Calcul du rayon de convergence Définition. La série entière P

a_nzⁿ est lacunaire si et seulement si {n ∈N/a_n = 0}

est infini. Ainsi,

Pa_nzⁿ est non lacunaire si et seulement si il existe N ∈Ntel que ∀n≥N a_n6= 0.

Propriété. Utilisation de la règle de d’Alembert.

Hypoth`eses.

P

a_nzⁿ est non lacunaire.

|an+1|

|a_n| −→

n→+∞l ∈R+. Conclusion.

Le rayon de convergence deP

anzⁿ vaut R= 1 l, avec la convention ¹₀ = +∞ et _+∞¹ = 0.

D´emonstration.

Soit z ∈C^∗. |a_n+1zⁿ⁺¹|

|a_nzⁿ| −→

n→+∞l|z| ∈R+.

Si|z|< ¹_l, l|z|<1, donc d’apr`es le crit`ere de d’Alembert, P

a_nzⁿ converge, et de mˆeme, si|z|> ¹_l,P

a_nzⁿ diverge.

Exemples.

Pour tout α∈R, Xzⁿ

n^α a pour rayon de convergence R = 1, Xzⁿ

n! a pour rayon de convergence R= +∞et

X

n!zⁿ a pour rayon de convergenceR = 0.

Exemple. Rayon de convergence de X2ⁿ n z²ⁿ.

´

(5)

Séries entières 1 Convergence simple d’une série entière Pour considérer X2ⁿ

nz²ⁿ comme une s´erie enti`ere en la variablez, il faut comprendre que X2ⁿ

n z²ⁿ d´esigne la s´erie d’applications P

f_n, o`u pour tout n ∈ N, f_2n+1 est identiquement nulle et f_2n : z7−→ 2ⁿ

nz²ⁿ. Soit z ∈ C^∗. Notons b_n = 2ⁿ

n |z|²ⁿ. bn+1

b_n = 2 n

n+ 1|z|² −→

n→+∞2|z|², donc le rayon de convergence vaut 1

√2.

Remarque. Dans l’exemple précédent, la série entière étudiée est lacunaire. Dans ce cas, la propriété précédente ne peut pas être utilisée directement, mais on a pu adapter sa démonstration à la situation de l’exemple.

Remarque. La propriété précédente a peu de chance de s’appliquer dans le cadre d’un exercice “théorique” car lorsque la suite (a_n) est quelconque (et non nulle à partir d’un certain rang), |a_n+1|

|a_n| n’admet pas n´ecessairement de limite.

Exemple. SiP

a_nzⁿ est une série entière de rayon de convergenceR, calculer le rayon de convergenceS de la série entière P

a²_nzⁿ. Lorsque P

anzⁿ est non lacunaire et que |a_n+1|

|a_n| −→

n→+∞l, R = 1

l. Dans ce cas,

|a²_n+1|

|a²_n| −→

n→+∞l² etS = 1

l² =R².

Montrons que cette relation est vraie pour une s´erie enti`ere P

a_nzⁿ quelconque.

Soit Z ∈C. Il existe z ∈C tel que Z =z².

Si|Z|< R² alors |z|< R, donc la suite (a_nzⁿ)n∈Nest born´ee. Ainsi (a²_nZⁿ) = ((a_nzⁿ)²) est aussi born´ee et |Z| ≤S. Ceci montre que [0, R²[⊂[0, S], doncR² ≤S.

De même, si |Z| > R², alors |z| > R, donc la suite (a_nzⁿ)n∈N n’est pas bornée. Ainsi (a²_nZⁿ) = ((a_nzⁿ)²) n’est pas bornée et |Z| ≥S. Ceci montre que ]R²,+∞[⊂[S,+∞[, donc R² ≥S.

Remarque. S’il existez₀ ∈Ctel queP

a_nz₀ⁿest semi-convergente ou bien divergente mais non grossièrement, alors le rayon de convergence est égal à |z₀|.

Exemple. Le rayon de convergence de X(−1)ⁿ

n zⁿest égal à 1 car la série X(−1)ⁿ est semi-convergente. n

Th´eor`eme. Soient A = X

a_nzⁿ et B = X

b_nzⁿ deux s´eries enti`eres de rayons de convergence R_A etR_B.

Sia_n =O(b_n), alors R_A≥R_B. Sia_n =o(b_n), alorsR_A≥R_B. Si a_n∼b_n, alors R_A=R_B . Exemple.

(6)

Séries entières 1 Convergence simple d’une série entière Si F est une fraction rationnelle non nulle, quitte à tronquer la série entière à partir d’un entier n₀, X

n≥n₀

F(n)zⁿ est définie et son rayon de convergence est égal à 1.

Exemple. Pour tout n ∈N, 1

n ≤ 2 + cos(n)

n ≤ 3

n, donc X

n≥1

2 + cos(n)

n zⁿ a un rayon de convergence ´egal `a 1.

1.2.3 Rayon d’une somme, d’un produit, de la d´eriv´ee

Propri´et´e. Soit (b_n) une seconde suite de complexes. NotonsR_a,R_b etR_a+b les rayons de convergence de P

a_nzⁿ, P

b_nzⁿ et de la somme de ces deux s´eries P

(a_n+b_n)zⁿ. AlorsR_a+b ≥min(R_a, R_b), et si R_a6=R_b,R_a+b = min(R_a, R_b).

D´emonstration.

• Soit z ∈ C tel que |z| < min(Ra, Rb). Alors P

anzⁿ et P

bnzⁿ sont convergentes, donc P

(a_n+b_n)zⁿ est convergente, ce qui prouve que R_a+b ≥ |z|.

Ainsi ]0,min(R_a, R_b)[⊂[0, R_a+b], ce qui prouve que R_a+b ≥min(R_a, R_b).

• Supposons maintenant que Ra 6= Rb. Pla¸cons-nous par exemple dans le cas o`u R_a < R_b. Soitz ∈]R_a, R_b[. AlorsP

a_nzⁿdiverge etP

b_nzⁿconverge, doncP

(a_n+b_n)zⁿ diverge, ce qui implique z ≥R_a+b.

Ainsi, ]Ra, Rb[⊂[Ra+b,+∞[, ce qui prouve que Ra+b ≤Ra.

Remarque. Lorsque R_a=R_b, il est possible que R_a+b > R_a. Par exemple, les rayons de convergence de P

zⁿ et de P

−zⁿ valent 1, mais leur somme qui est nulle a un rayon de convergence infini.

Exercice. On suppose que les s´eries enti`eres P

a_2nz²ⁿ et P

a_2n+1z²ⁿ⁺¹ ont le mˆeme rayon de convergence not´e R. Montrez que R est aussi le rayon de convergence deP

a_nzⁿ. R´esolution.

• Notons T le rayon de convergence deP a_nzⁿ. Pa_nzⁿ est la somme de P

a_2nz²ⁿ et de P

a_2n+1z²ⁿ⁺¹, donc T ≥R.

• Soit z un complexe tel que |z| < T. Alors P

anzⁿ est convergente, donc la suite (a_2nz²ⁿ)n∈N est born´ee, ce qui prouve que |z| ≤ R. Ainsi [0, T[⊂ [0, R], ce qui prouve que R≥T.

Propri´et´e. Soit (bn) une seconde suite de complexes. Notons Ra,Rb etRab les rayons de convergence de P

a_nzⁿ, P

b_nzⁿ et du produit de Cauchy de ces deux s´eries.

AlorsR_ab ≥min(R_a, R_b).

D´emonstration.

Soit z ∈ C tel que |z| < min(R_a, R_b). Alors P

a_nzⁿ et P

b_nzⁿ sont absolument convergentes, donc le produit de Cauchy estabsolument convergent, ce qui prouve queR_ab ≥ |z|. Ainsi ]0,min(R_a, R_b)[⊂[0, R_ab], ce qui prouve que R_ab ≥min(R_a, R_b).

´

(7)

Séries entières 2 Convergence uniforme d’une série entière Remarque. L’inégalité peut être stricte, même lorsque R_a 6=R_b. En effet, les rayons de convergence des séries entières 1−z et P

zⁿ valent respectivement +∞et 1. Leur produit de Cauchy vaut P

cnzⁿ, o`uc0 = 1 et pour tout n ∈N^∗, cn = 1−1 = 0, donc leur produit de Cauchy vaut 1, dont le rayon est infini.

Propriété. Une série entière et sa série dérivée ont le même rayon de convergence.

Panzⁿ etP

nanzⁿ ont le mˆeme rayon de convergence.

D´emonstration.

• Notons R et S les rayons de convergence de P

a_nzⁿ et de P

na_nzⁿ.

Soitz ∈Ctel que 0<|z|< R. Prenonsρ∈]|z|, R[. La s´erieP

|na_nzⁿ| ≤nM rⁿ, or la r`egle de d’Alembert montre que P

nrⁿ converge, donc la s´erie Pna_nzⁿ est convergente, ce qui prouve que |z| ≤S. Ainsi S≥R.

• De plus,P

na_nzⁿetP

(n+1)a_n+1zⁿont le mˆeme rayon de convergence car, pour tout z ∈C, on montre que P

na_nzⁿ converge⇐⇒P

(n+ 1)a_n+1zⁿ⁺¹ converge, en passant aux sommes partielles, puis que P

na_nzⁿ converge ⇐⇒ P

(n+ 1)a_n+1zⁿ converge en distinguant les cas z = 0 et z 6= 0.

2 Convergence uniforme d’une s´ erie enti` ere

2.1 Continuit´ e

Th´eor`eme.

Toute série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout compact inclus dans son disque ouvert de convergence.

D´emonstration.

• Soit K un compact inclus dans le disque ouvert de convergence de P

anzⁿ, dont le rayon de convergence est not´e R. L’application K −→ R

z 7−→ |z| est continue sur le compact K, donc elle est born´ee et elle atteint ses bornes. En particulier, il existe z₀ ∈K tel que pour tout z ∈K, |z| ≤ |z₀|.

• Soit n∈N. Pour toutz ∈K,|a_nzⁿ|=|a_n||z|ⁿ≤ |a_n||z₀|ⁿ, donc sup

z∈K

|a_nzⁿ| ≤ |a_n||z₀|ⁿ, orP

|a_n||z₀|ⁿconverge car z₀ ∈K etK est inclus dans le disque ouvert de convergence.

Exemple. P

zⁿ converge uniform´ement sur tout compact de B₀(0,1). Cependant, il n’y a pas convergence uniforme surB₀(0,1). Sinon, comme pour tout n∈N,zⁿ −→

z→1 1, d’après le théorème d’interversion des limites, la série P

1 serait convergente.

(8)

Séries entières 2 Convergence uniforme d’une série entière On peut aussi montrer la non convergence uniforme en remarquant que sup

x∈[0,1[

xⁿ = 1.

Ainsi, la suite d’applications (z 7−→ zⁿ)_n∈_N ne converge pas uniformément vers 0 sur [0,1[, donc à fortiori elle ne converge pas uniformément vers 0 sur B₀(0,1). On sait alors que P

zⁿ ne converge pas uniform´ement sur B₀(0,1).

Remarque. S’il existe z₀ appartenant au cercle d’incertitude tel que P

a_nz₀ⁿ est absolument convergent, alors la s´erie enti`ere P

a_nzⁿ converge normalement sur le disque ferm´e de convergence.

Notation. Pour toute la suite de ce chapitre, on notera R le rayon de convergence de P

a_nzⁿ et on posera S(z) =

+∞

X

n=0

a_nzⁿ , en cas de convergence. Le domaine de d´efinition deS est compris entre le disque ouvert et le disque ferm´e de convergence.

Propri´et´e. S est continue en tout point du disque ouvert de convergence.

Remarque. S’il existe z₀ appartenant au cercle de convergence tel que P

a_nz₀ⁿ est absolument convergent, alorsS est d´efinie et continue sur le disque ferm´e de convergence.

Propri´et´e. Si R >0 , pour toutp∈N, au voisinage de 0, S(z) =

p

X

n=0

a_nzⁿ+O(z^p+1) . D´emonstration.

Supposons que R >0 et soit p∈N. Pour tout z ∈C tel que |z|< R, S(z) =

p

X

n=0

a_nzⁿ+z^p+1

+∞

X

n=0

a_n+p+1zⁿ. La s´erieX

n

a_n+p+1zⁿconverge siP

a_nzⁿconverge, donc son rayon de convergence est sup´erieur `aR. Ainsi l’application

Bo(0, R) −→ C z 7−→

+∞

X

n=0

a_n+p+1zⁿ est continue. En particulier elle est born´ee sur tout compact deB_o(0, R), donc, au voisinage de 0,

+∞

X

n=0

a_n+p+1zⁿ=O(1).

2.2 Int´ egration

Propri´et´e. Pour tout (a, b)∈]−R, R[², Z b

a

S(t)dt=

+∞

X

n=0

a_n Z b

a

tⁿdt.

Remarque. S’il existe z₀ appartenant au cercle de convergence tel que P

a_nz₀ⁿ est absolument convergent, alors la formule ci-dessus s’étend au cas où (a, b)∈[−R, R]². Propriété. Sur ]−R, R[, l’unique primitive deSqui s’annule en 0 estt7−→

+∞

X

n=0

a_n tⁿ⁺¹ n+ 1.

´

(9)

Séries entières 2 Convergence uniforme d’une série entière

2.3 D´ erivation

Propri´et´e. S_/]−R,R[ est une application de classe C¹ et

∀t ∈]−R, R[ S⁰(t) =

+∞

X

n=0

(n+ 1)a_n+1tⁿ.

D´emonstration.

Pour tout n ∈ N, notons f_n : ]−R, R[ −→ C

t 7−→ antⁿ. f_n est de classe C¹ et P f_n CVS sur ]−R, R[. Il reste `a montrer queP

f_n⁰ CVUTS sur ]−R, R[, car on peut alors appliquer le théorème de dérivation de la somme d’une série d’applications d’après lequel S est une application de classe C¹ sur ]−R, R[ et pour tout t ∈]−R, R[, S⁰(t) =

+∞

X

n=0

f_n⁰(t) =

+∞

X

n=1

na_ntⁿ⁻¹ =

+∞

X

n=0

(n+ 1)a_n+1tⁿ.

Soit K un segment inclus dans ]−R, R[. Il existe t₀ ∈K tel que pour tout t ∈K,

|t| ≤ |t₀|.

Soit n ∈N^∗. Pour toutt∈K, |f_n⁰(t)|=n|a_n||t|ⁿ⁻¹ ≤n|a_n||t₀|ⁿ⁻¹, donc sup

t∈K

|f_n⁰(t)| ≤ n|a_n||t₀|ⁿ⁻¹, or la s´erie enti`ere X

na_nzⁿ a aussi pour rayon R, donc Pn|a_n||t₀|ⁿ⁻¹ converge, ce qui prouve la convergence normale de P

f_n⁰ sur K.

Théorème. Généralisation aux dérivées d’ordres supérieurs.

S/]−R,R[ est une application de classeC^∞ et

∀p∈N ∀t∈]−R, R[ S^(p)(t) =

+∞

X

n=0

(n+p)!

n! a_n+ptⁿ. D´emonstration.

Laissée en exercice (se démontre par récurrence sur p).

Remarque. Par la suite, nous aurons parfois besoin, pourt ∈]−R, R[ et (p, q)∈N², de mettre t^qS^(p)(t) sous la forme “canonique” d’une série entière, c’est-à-dire sous la forme

+∞

X

n=0

b_ntⁿ. Les exemples les plus utiles sont les suivants.

S⁰(t) =

+∞

X

n=0

(n+ 1)an+1tⁿ, tS⁰(t) =

+∞

X

n=0

na_ntⁿ, S⁰⁰(t) =

+∞

X

n=0

(n+ 1)(n+ 2)a_n+2tⁿ, tS⁰⁰(t) =

+∞

X

n=0

n(n+ 1)an+1tⁿ et

(10)

Séries entières 3 Développement en séries entières t²S⁰⁰(t) =

+∞

X

n=0

n(n−1)a_ntⁿ. Propri´et´e.

SiR >0, alors (1) : ∀p∈N a_p = S^(p)(0) p! . D´emonstration.

Résulte de la formule du théorème précédent avec t= 0 (0∈]−R, R[ car R > 0).

On peut aussi remarquer que S ´etant de classeC^∞ au voisinage de 0

(car R > 0), on peut appliquer la formule de Taylor-Young, d’après laquelle S admet en 0 le développement limité suivant. S(t) =

p

X

n=0

S⁽ⁿ⁾(0)

n! tⁿ+o(t^p) (o`u p est un entier quelconque), or on a vu qu’au voisinage de 0, S(t) =

p

X

n=0

a_ntⁿ+o(t^p), donc d’après l’unicité du développement limité,∀p∈N a_p = S^(p)(0)

p! .

Cette démonstration, qui repose sur l’identification de deux développement limité de S en 0, permet de retenir facilement la formule (1).

3 D´ eveloppement en s´ eries enti` eres

3.1 Fonctions d´ eveloppables

3.1.1 variable r´eelle

Définition. Soient r ∈ R^∗+. On dit que f est développable en série entière (DSE en abrégé) sur l’intervalle ]−r, r[ si et seulement s’il existe une série entière P

b_ntⁿ telle que pour tout t ∈]−r, r[, f(t) =

+∞

X

n=0

b_ntⁿ. On dit alors que t 7−→

+∞

X

n=0

b_ntⁿ est le développement en série entière (en abrégé le DSE) de l’application f.

Remarque. Avec les notations précédentes, le rayon de convergence R de la série entière P

b_ntⁿ est nécessairement supérieur ou égal àr, mais il est possible que R > r.

Exemple. Pour tout t ∈]−1,1[, 1 1−t =

+∞

X

n=0

tⁿ, donc l’application t 7−→ 1 1−t est développable en série entière.

Définition. On dit qu’une application f est développable en série entière au voisinage de 0 si et seulement s’il existe r∈R^∗+ tel que f est DSE sur l’intervalle ]−r, r[.

Remarque. Plus généralement, on dit qu’une applicationf est développable en série entière au voisinage dex₀ ∈R si et seulement s’il exister∈R^∗+ tel quet 7−→f(t+x₀) est DSE sur l’intervalle ]−r, r[.

´

(11)

Séries entières 3 Développement en séries entières Définition. Soit f une application définie et de classeC^∞ sur un voisinage de 0.

On appelle série de Taylor de f la série entière Xf⁽ⁿ⁾(0) n! tⁿ. Propriété. Unicité du développement en série entière Soit f une application définie sur un voisinage de 0.

Si f est DSE sur ]−r, r[, alorsf est de classeC^∞ sur ]−r, r[

et son DSE est n´ecessairement la somme de sa s´erie de Taylor.

En particulier, le DSE d’une fonction développable en série entière est unique.

D´emonstration.

Supposons que f est développable en série entière. Ainsi il existe r ∈R^∗+ et une série entière P

b_ntⁿ tels que pour toutt∈]−r, r[,f(t) =

+∞

X

n=0

b_ntⁿ.

On en déduit que f est de classe C^∞ sur ]−r, r[ et que pour toutp∈N,b_p = f^(p)(0) p! . Remarque. Il y a certes unicité du développement en série entière, mais il y a mal- heureusement assez rarement existence, et ceci même pour une application de classe C^∞ sur Rdont la série de Taylor a un rayon de convergence infini.

Par exemple, consid´erons l’application f :R−→Rd´efinie par les relations suivantes : f(0) = 0 et sit 6= 0, f(t) =e⁻^t¹².

On montre (au tableau) quef est une application de classeC^∞surRet que pour tout p∈N,f^(p)(0) = 0.

Ainsi la s´erie de Taylor de f est la s´erie nulle et son rayon de convergence est +∞.

Cependant si f ´etait DSE, il existerait r∈R^∗+ tel que pour tout t ∈]−r, r[, f(t) = 0, ce qui est faux.

Propri´et´e. Si f et g sont DSE au voisinage de 0, pour tout (α, β)∈ C², αf +βg et f g sont DSE au voisinage de 0.

Sip∈N, alors f^(p) est DSE au voisinage de 0.

D´emonstration.

On suppose qu’il exister₁ >0 etr₂ >0, ainsi que deux s´eries enti`eresP

a_ntⁿetP b_ntⁿ tels que, ∀t∈]−r₁, r₁[, f(t) =

+∞

X

n=0

a_ntⁿ et∀t∈]−r₂, r₂[, g(t) =

+∞

X

n=0

b_ntⁿ. Posonsr = min(r₁, r₂).

• Soit (α, β)∈C². Alors, pour toutt∈]−r, r[, (αf+βg)(t) =

+∞

X

n=0

(αan+βbn)tⁿ, donc αf +βg est DSE au voisinage de 0.

• Soit t ∈]−r, r[. t est dans l’intervalle ouvert de convergence de P

antⁿ et dans celui de P

b_ntⁿ, donc ces deux s´eries sont absolument convergentes. On sait alors que leur produit de Cauchy, que l’on notera P

c_ntⁿ, est absolument convergent et que

(12)

Séries entières 3 Développement en séries entières

+∞

X

n=0

c_ntⁿ = (f g)(t), doncf g est DSE au voisinage de 0.

• Soit t ∈]−r, r[. t est dans l’intervalle ouvert de convergence de P

a_ntⁿ, donc la somme de cette s´erie enti`ere est C^∞ ent etf^(p)(t) =

+∞

X

n=0

(n+p)!

n! an+ptⁿ, donc f^(p) est DSE au voisinage de 0.

3.1.2 Variable complexe

Définition. Soient r ∈ R^∗+. On dit que f est développable en série entière (DSE en abrégé) sur B_o(0, r) si et seulement s’il existe une série entière P

b_nzⁿ telle que pour toutz ∈B_o(0, r),f(z) =

+∞

X

n=0

b_nzⁿ. On dit alors quez 7−→

+∞

X

n=0

b_nzⁿest le développement en série entière (en abrégé le DSE) de l’application f.

Remarque. Avec les notations précédentes, le rayon de convergence R de la série entièreP

b_nzⁿ est nécessairement supérieur ou égal àr, mais il est possible que R > r.

Exemple. Pour toutz ∈B_o(0,1), 1 1−z =

+∞

X

n=0

zⁿ, donc l’application z 7−→ 1 1−z est développable en série entière.

Définition. On dit qu’une application f est développable en série entière au voisinage de 0 si et seulement s’il existe r∈R^∗+ tel que f est DSE sur l’intervalleB_o(0, r).

Propri´et´e. Si f et g sont DSE, pour tout (α, β) ∈ C², αf +βg est DSE et f g est DSE.

D´emonstration.

Adapter la démonstration donnée à la fin du a.1.

3.2 D´ eveloppement en s´ erie enti` ere des fonctions usuelles

Introduction. La plupart des fonctions usuelles sont DSE et la connaissance de leur DSE est par exemple un tr`es bon moyen pour calculer les valeurs approch´ees de ces fonctions en un point.

3.2.1 Les fractions rationnelles 3.2.2 Le logarithme

Formule.

Pour toutt ∈]−1,1[, ln(1 +t) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n tⁿ.

´

(13)

Séries entières 3 Développement en séries entières Démonstration.

Soit t∈]−1,1[. 1 1 +t =

+∞

X

n=0

(−t)ⁿ, donc ln(1 +t) =

Z t

0

dx 1 +x =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+ 1tⁿ⁺¹.

Remarque. La méthode utilisée dans cette démonstration, fondée sur le DSE de la dérivée, permet de développer d’autres fonctions en séries entières (cf exercices). C’est par exemple le cas de arctan.

Remarque. Cette formule est encore valable en t= 1, ce qui prouve que

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n = ln(2).

D´emonstration.

• Premi`ere m´ethode.

Pour n∈N^∗, on note

f_n: R+ −→ R t 7−→ (−1)ⁿ⁻¹

n tⁿ. La s´erie d’applicationsX

n≥1

f_n CVS sur [0,1].

Soit n ∈ N. Pour tout t ∈ [0,1], d’après le théorème spécial des séries alternées,

+∞

X

k=n+1

(−1)^k−1 k t^k

≤ 1

n+ 1, donc sup

t∈[0,1]

+∞

X

k=n+1

(−1)^k−1 k t^k

≤ 1

n+ 1 −→

n→+∞0, ce qui prouve que la s´erie X

n≥1

f_n CVU sur [0,1]. Or pour toutn ∈N^∗,f_n est continue sur [0,1], donc

+∞

X

n=1

f_n est continue sur [0,1]. Mais on sait que

+∞

X

n=1

f_n et t 7−→ln(1 +t) co¨ıncident sur [0,1[. Ces deux applications sont continues sur [0,1] et co¨ıncident sur une partie dense de [0,1], donc elles co¨ıncident sur [0,1].

• Deuxi`eme m´ethode.

ln(2) = Z 1

0

dx 1 +x =

Z

[0,1[

+∞

X

n=0

(−t)ⁿdt.

Pour tout N ∈N, posons f_N =

N

X

n=0

(−t)ⁿ. Ainsi, ln(2) = Z

[0,1[

N→+∞lim f_N(t)dt.

Pour toutN ∈N, f_N est continue sur [0,1[.

(f_N) converge simplement sur [0,1[ vers l’application t 7−→ 1

1 +t, qui est continue sur [0,1[.

Pour tout (N, t) ∈ N×[0,1[, |f_N(t)| =

1−(−t)^N⁺¹ 1 +t

≤ 2

1 +t et t 7−→ 2 1 +t est continue et intégrable (car bornée) sur l’intervalle (borné) [0,1[.

(14)

Séries entières 3 Développement en séries entières On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée.

Ainsi, ln(2) = lim

N→+∞

Z

[0,1[

f_N(t)dt =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+ 1.

Exercice. Montrer que pour toutt∈]−1,1[, arctan(t) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ t²ⁿ⁺¹

2n+ 1. Cette formule est-elle valable pourt= 1 ou t=−1 ?

Formule.

Pour toutt ∈]−1,1[,

+∞

X

n=1

tⁿ

n =−ln(1−t).

3.2.3 Les fonctions puissances Formule. Soit α∈C.

Pour toutt ∈]−1,1[, (1 +t)^α = 1 +

+∞

X

n=1

α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! tⁿ.

D´emonstration.

• Notons f : ]−1,1[ −→ R

t 7−→ (1 +t)^α.

Recherchons une équation différentielle linéaire dontf est solution.

f est de classe C¹ et pour tout t∈]−1,1[,f⁰(t) =α(1 +t)^α−1, donc (1 +t)f⁰(t) = αf(t). Ainsi f est l’unique solution

du probl`eme de Cauchy suivant (C) : [(1 +t)y⁰−αy = 0 et y(0) = 1].

(C) ⇐⇒ [y(0) = 1 et y⁰ = a(t)y] o`u a : t 7−→ α

1 +t. a est continue, donc d’après le théorème de Cauchy-Lipschitz (cf cours sur les équations différentielles), (C) possède une unique solution, égale à f.

• Recherchons une solution de (C) sous la forme de la somme d’une s´erie enti`ere.

Soit P

b_ntⁿ une série entière dont le rayon de convergence est notéR. On suppose que R >0.

+∞

X

n=0

b_ntⁿ est solution de (C) sur ]−R, R[ si et seulement si (C) : b₀ = 1 et ∀t∈]−R, R[

+∞

X

n=0

(n+ 1)b_n+1+nb_n−αb_n tⁿ = 0

⇐⇒ b₀ = 1 et ∀n∈N (n+ 1)b_n+1+nb_n−αb_n= 0,

en vertu de l’unicit´e du DSE, qui est applicable car R >0. Ainsi, (C)⇐⇒ b0 = 1 et ∀n ∈N bn+1 = α−n

n+ 1bn

⇐⇒ ∀n∈N bn = 1 n!

n−1

Y

k=0

(α−k),

l’implication de la gauche vers la droite se démontrant par récurrence sur n et la réciproque étant évidente.

´

(15)

Séries entières 3 Développement en séries entières

• Pour tout n∈N, posonsb_n= 1 n!

n−1

Y

k=0

(α−k) et notonsR le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

b_ntⁿ.

Premier cas. On suppose que α ∈ N. Alors la suite (b_n) est presque nulle, donc R= +∞.

Deuxi`eme cas. On suppose que α∈C\N. Pour toutn ∈N,b_n6= 0.

De plus |bn+1|

|b_n| = |α−n|

n+ 1 −→

n→+∞1, doncR = 1.

Dans tous les cas,R >0 et∀n∈N b_n = 1 n!

n−1

Y

k=0

(α−k), donc l’applicationt 7−→

+∞

X

n=0

b_ntⁿ est une solution de (C) sur ]−R, R[⊃]−1,1[. D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz, t7−→

+∞

X

n=0

b_ntⁿ ett7−→(1 +t)^α co¨ıncident sur ]−1,1[.

Remarque. La méthode utilisée dans la démonstration précédente, fondée sur l’utilisation d’une équation différentielle, permet de développer d’autres fonctions en séries entières (cf exercices).

En pratique, si l’on vous donne une application f et que l’on vous demande de la développer en série entière lorsque c’est possible, il faut essayer les techniques suivantes, dans l’ordre où elles sont présentées ci-dessous.

Reconnaˆıtre une combinaison linéaire d’applications dont les développements en séries entières sont connus.

Dériverf et appliquer la méthode précédente à f⁰.

Dériver f et rechercher une équation différentielle linéaire d’ordre 1 dont f est une solution. A défaut, dériver une seconde fois et rechercher une équation différentielle linéaire d’ordre 2 dont f est une solution. On peut envisager de dériver à des ordres supérieurs.

Reconnaˆıtre un produit de Cauchy d’applications dont les développements en séries entières sont connus.

Utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange (cf 3.2.4) lorsque l’on sait majorer les dérivées successives def. L’inconvénient de cette méthode est que, le plus souvent, elle montre quef est DSE, mais elle ne permet pas de calculer son DSE.

3.2.4 R´ecapitulatif

∀t∈]−1,1[

+∞

X

n=0

tⁿ= 1 1−t,

∀t ∈]−1,1[

+∞

X

n=1

tⁿ

n =−ln(1−t) et

(16)

Séries entières 4 Fonctions génératrices d’une variable aléatoire

∀z ∈C

+∞

X

n=0

zⁿ n! =e^z.

∀t∈R sin(t) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n+ 1)!t²ⁿ⁺¹ et cos(t) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n)!t²ⁿ.

∀t ∈R sh(t) =

+∞

X

n=0

t²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! et ch(t) =

+∞

X

n=0

t²ⁿ (2n)!.

∀t∈]−1,1[ ln(1 +t) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n tⁿ (valable pour t = 1),

∀α∈R ∀t∈]−1,1[ (1 +t)^α = 1 +

+∞

X

n=1

α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! tⁿ.

∀t∈]−1,1[ arctan(t) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ t²ⁿ⁺¹

2n+ 1 (valable pour t= 1 et t=−1).

Les trois derniers développements en série entière ne sont pas au programme. Ils s’obtiennent cependant facilement.

∀t∈]−1,1[ argth(t) =

+∞

X

n=0

t²ⁿ⁺¹ 2n+ 1.

∀t∈[−1,1] arcsin(t) = t+

+∞

X

n=1

1×3× · · · ×(2n−1) 2×4× · · · ×(2n)

t²ⁿ⁺¹ 2n+ 1.

∀t∈[−1,1] argsh(t) =t+

+∞

X

n=1

1×3× · · · ×(2n−1) 2×4× · · · ×(2n)

(−1)ⁿt²ⁿ⁺¹ 2n+ 1 .

´

(17)

Séries entières 4 Fonctions génératrices d’une variable aléatoire

4 Fonctions g´ en´ eratrices d’une variable al´ eatoire

Propriété. Soit X est une variable aléatoire à valeurs dans N. Alors la série entière PP(X=n)zⁿ est de rayon supérieur ou égal à 1 et elle converge normalement sur le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.

D´emonstration.

Pour t = 1, la s´erie P

P(X = n) est absolument convergente, car c’est une s´erie

`

a termes positifs et

+∞

X

n=0

P(X = n) = 1, donc le rayon R est supérieur à 1 et il y a convergence normale sur Bf(0,1) (même lorsqueR= 1 d’après l’absolue convergence).

Définition. Si X est une variable aléatoire à valeurs dans N, on appelle fonction génératrice de X la fonction GX définie par :

GX(t) =E(t^X) =

+∞

X

n=0

tⁿP(X =n) (cf la formule de transfert).

GX est au moins d´efinie et continue sur [−1,1] (d’apr`es la convergence normale).

Remarque. D’après l’unicité du développement en série entière sur l’intervalle ]−1,1[, la connaissance de la fonction G_X est équivalente à la connaissance de la loi de X.

Exemple. Si X ∼ B(p) alors G_X(t) = (1−p) +pt.

Exemple. Si X ∼ B(p, n), alors G_X(t) =

n

X

k=0

n k

p^k(1−p)^n−kt^k = (pt+ 1−p)ⁿ d’apr`es la formule du binˆome de Newton.

Exemple. Si X ∼ G(p), alors G_X(t) =

+∞

X

n=1

p(1−p)ⁿ⁻¹tⁿ=pt

+∞

X

n=0

((1−p)t)ⁿ= pt 1−(1−p)t Exemple. Si X ∼ P(λ), alorsG_X(t) =

+∞

X

n=0

e^−λλⁿ

n!tⁿ =e^λ(t−1).

Notation. Pour toute la suite, les variables aléatoires considérées seront systéma- tiquement à valeurs dans N.

Propriété. X est d’espérance finie si et seulement si GX est dérivable en 1 et dans ce cas, E(X) =G⁰_X(1) .

D´emonstration.

Premier cas : On suppose que le rayon de convergence de G_X est strictement sup´erieur

`

a 1. Alors GX est d´erivable (`a gauche) en 1 et G⁰_X(1) =

+∞

X

n=0

nP(X = n), donc X est d’esp´erance finie et E(X) = G⁰_X(1).

(18)

Séries entières 4 Fonctions génératrices d’une variable aléatoire Deuxième cas : On suppose maintenant que le rayon vaut 1.

• Supposons que X est d’esp´erance finie. AinsiP

nP(X =n) converge, donc la s´erie d’applications P

n≥1(t 7−→ nP(X = n)tⁿ⁻¹) converge normalement sur [−1,1]. On peut donc appliquer le théorème de dérivation d’une série d’applications à

P(t 7−→ P(X = n)tⁿ) sur [−1,1], ce qui prouve que G_X est d´erivable sur [−1,1] et que G⁰_X(1) =

+∞

X

n=0

nP(X =n) =E(X).

• Supposons que X est d’esp´erance infinie :

+∞

X

n=0

nP(X =n) = +∞.

Pour toutt ∈[0,1[, G_X(1)−G_X(t)

1−t =

+∞

X

n=0

1−tⁿ

1−t P(X=n) =

+∞

X

n=1

P(X=n)

n−1

X

k=0

t^k: c’est une fonction croissante de t, donc d’après le théorème de la limite monotone,

G_X(1)−G_X(t)

1−t −→

t→1 t∈[0,1[

sup

t∈[0,1[

+∞

X

n=0

1−tⁿ

1−t P(X =n).

Fixons A >0. Il existe N ∈N^∗ tel que

N

X

n=0

nP(X =n)≥2A.

Or

N

X

n=0

1−tⁿ

1−t P(X = n) −→

t→1 t∈[0,1[

N

X

n=0

nP(X = n), donc il existe t₀ ∈ [0,1[ tel que

N

X

n=0

nP(X =n)−

N

X

n=0

1−tⁿ₀

1−t₀P(X =n)

≤A.

Ainsi,

N

X

n=0

1−tⁿ₀

1−t₀P(X =n)≥A, puis

+∞

X

n=0

1−tⁿ₀

1−t₀P(X =n)≥A, puis sup

t∈[0,1[

+∞

X

n=0

1−tⁿ

1−t P(X =n)≥A.

Ceci ´etant vrai pour toutA >0, sup

t∈[0,1[

+∞

X

n=0

1−tⁿ

1−t P(X =n) = +∞.

Ainsi, G_X(1)−G_X(t)

1−t −→

t→1 t∈[0,1[

+∞, ce qui prouve que G_X n’est pas d´erivable.

Propriété. X admet un second moment si et seulement siG_X est deux fois dérivable en 1 et dans ce cas, G⁰⁰_X(1) =E(X(X−1)) .

D´emonstration.

Exercice, en adaptant la démonstration précédente.

Propriété. SiX admet un second moment, alorsV ar(X) =G⁰⁰_X(1)+G⁰_X(1)−[G⁰_X(1)]². Démonstration.

V ar(X) =E(X²)−E(X)² d’apr`es la formule de Koenig-Huygens,

donc V ar(X) =E(X(X−1)) +E(X)−E(X)², ce qui permet de conclure.

´

(19)

Séries entières 4 Fonctions génératrices d’une variable aléatoire Remarque. Ces propriétés fournissent un moyen efficace de calculer les espérances et variances des lois classiques du programme.

Propriété. Si X1, . . . , Xk sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes, alors G_X₁+···+X_k =G_X₁ × · · · ×G_X_k.

D´emonstration.

Pour t ∈ [−1,1], G_X₁+···+X_k(t) = E(t^X¹^+···+X^k) = E(t^X¹ × · · · ×t^X^k), or les variables al´eatoirest^Xⁱ sont mutuellement ind´ependantes,

donc E(t^X¹ × · · · ×t^X^k) =E(t^X¹)× · · · ×E(t^X^k), ce qui permet de conclure.

Propriété. SoitX₁, . . . , X_mdes variables aléatoires entières mutuellement indépendantes.

On suppose qu’il existe p ∈[0,1] tel que, pour tout i ∈ {1, . . . , m}, X_i ∼ B(n_i, p), o`u n_i ∈N^∗ (p ne d´epend pas de i).

AlorsX₁+· · ·+X_m ∼ B(n₁+· · ·+n_m, p).

D´emonstration.

Cette propriété a déjà été établie dans le cours de probabilité, mais nous disposons maintenant d’une démonstration plus rapide :

G_X₁+···+X_m =G_X₁×· · ·×G_X_m = (pt+1−p)ⁿ¹×· · ·×(pt+1−p)ⁿ^m = (pt+1−p)ⁿ¹^+···+n^m, ce qui est la fonction génératrice d’une variable aléatoire de loi B(n₁+· · ·+n_m, p).

Exercice. Soit X1, . . . , Xm des variables aléatoires entières mutuellement in- dépendantes telles que chaque X_i suit une loi de Poisson de paramètre λ_i > 0.

Montrer queX =X₁+· · ·+X_n suit une loi de Poisson de param`etre λ=λ1+· · ·+λm.

Solution : Il suffit d’adapter la démonstration précédente :

G_X₁+···+Xm =G_X₁ × · · · ×G_X_m =e^λ¹^(t−1)× · · · ×e^λ^m^(t−1) =e^λ(t−1), ce qui est la fonction génératrice d’une variable aléatoire de loi P(λ).

Propriété. SiGest la fonction génératrice d’une variable aléatoire à valeurs dans N, alors

— G(1) = 1,

— Gest C^∞ sur ]−1,1[,

— Gest croissante sur [0,1[,

— et G est convexe sur [0,1[.

D´emonstration.

G(1) =

+∞

X

n=0

P(X =n) = 1.

G est développable en série entière sur ]−1,1[, donc elle est C^∞. Pour t∈[0,1], G⁰(t) =

+∞

X

n=1

P(X =n)ntⁿ⁻¹ ≥0, donc Gest croissante sur [0,1[.

De mˆeme, on montre que G⁰⁰ est positive sur [0,1[, donc Gest convexe sur [0,1[.