Programme de Colle n
◦9 - PSI
(Du 3 au 28 Janvier 2020)
Une colle de math´ematiques en PSI comporte une question de cours suivie de 1 ou 2 exercice(s) sur :
S´ ERIES ENTI` ERES
• CONVERGENCE DE S´ERIES ENTI `ERES
— S´erie enti`ere, domaine de convergence,
— Lemme d’Abel, Rayon de convergence, exemple de calcul de rayon de convergence,
— Convergence simple, normale sur le domaine de convergence,
— Somme et produit de s´eries enti`eres.
• FONCTION D´EFINIE PAR UNE S´ERIE ENTI `ERE
— Intervalle (ouvert) de convergence,
— Int´egration et d´erivation (successives) de s´eries enti`eres,
— Expression des coefficients d’une s´erie enti`ere.
• D´EVELOPPEMENT EN S´ERIE ENTI `ERE
— Fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere,
— S´eries de Taylor,
— Op´erations sur les fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere,
— D´eveloppements en s´erie enti`ere usuels,
— Exemples de calcul de d´eveloppements en s´erie enti`ere
Questions de cours (2 ´enonc´es de cours ou 1 d´emonstration)
D´efinitions et propri´et´es :
D´efinition d’une s´erie enti`ere, du rayon de convergence, convergence normale d’une s´erie enti`ere, produit de Cauchy d’une s´erie enti`ere, primitive et d´eriv´ee d’une s´erie enti`ere, fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere..
Connaitre par cœur (ou savoir retrouver tr`es tr`es rapidement) tous les DSE usuels avec leur rayon de convergence.
D´emonstrations exigibles :
• Lemme d’Abel (p.2)
• Les s´eries enti`eres P
anzn etP
nanzn ont le mˆeme rayon de convergence (p.6)
• D´emonstration du DSE de (1 +x)α `a l’aide d’une EQDF (p.14)
• Savoir retrouver le DSE de arcsin(x) `a l’aide de celui de (1 +x)α avecα=−12 (p.16)
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 2019-2020
