TD 5 – S´ eries enti` eres

Math´ematiques 3 TD 5 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020

TD 5 – S´ eries enti` eres

Exercice 1. Calculs de rayon de convergence.

Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres de la forme P

anzⁿ lorsque la suite (an)n∈N est donn´ee par :

1. an= _n¹α, o`uα∈R; 2. a_n=n

√n; 3. an= (√

n)ⁿ;

4. an= (2i)^p sin= 2pest pair et 0 sinon ; 5. an= _nπ^einn;

6. an= ^P_Q(n)⁽ⁿ⁾ avec P etQ des polynˆomes non nuls ; 7. an= ₂^ln3n−2ⁿ .

Exercice 2. D´eveloppements en s´erie enti`ere.

Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere des expressions suivantes 1. e^x2−2x en 1 ;

2. arctan 1−x²

1+x²

en 0 ; 3. _{(x−1)(x−2)}¹ en 0 ;

4. ln(x+a) en 0 o`ua >0 ; 5. e^xcosx en 0 ;

6. cos³(x) en 0 ;

7. Rx 0

arctan(t²)

t dt en 0 ; 8. _(1−x)^1+x3 en 0.

Exercice 3. Calculs de sommes.

Calculer le rayon de convergence et la somme des s´eries enti`eres suivantes : 1. P

n²zⁿ; 2. P

n>1 (n+2)²

(n+2)!zⁿ;

3. P

n>1 (−1)ⁿ

2n−1z²ⁿ; 4. P

n>1 (−1)ⁿ

2n z²ⁿ;

5. P

n>1 zⁿ 1+2+···+n; 6. P

n>0 sin(nα)

n! zⁿ. Exercice 4. Coefficient myst`ere.

Soit (a_n)n∈Nune suite r´eelle convergeant versa∈R

1. Montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ereP_an

n!zⁿ est ´egal `a +∞.

2. Pour z∈C, on notef(z) la somme de la s´erie P_an

n!zⁿ. Calculer lim

x→+∞e^−xf(x).

Exercice 5. Une fonction pas d´eveloppable en s´erie enti`ere mais de classe C^∞.

Montrer que la fonction d´efinie par f(t) = 0 sit60 etf(t) =e^−1t sit >0 est de classeC^∞ mais pas d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0.

Exercice 6. Une ´equation diff´erentielle classique.

Pour quelles valeurs dea∈Rexiste-t-il une fonctionf non nulle d´eveloppable en s´erie enti`ere au point 0, telle quef<sup>0</sup>(x) =f(ax) ? Pr´eciser le rayon de convergence de la s´erie enti`ere obtenue.

Exercice 7. Une ´equation diff´erentielle plus compliqu´ee.

On consid`ere l’´equation diff´erentielle

(1) (1 +x²)y⁰⁰−2y= 0.

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

Math´ematiques 3 TD 5 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 1. Soit f(x) =P∞

n=0a_nxⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence R non nul. Montrer que f est solution de (1) si et seulement on si on a

an+2=−n−2

n+ 2an pour toutn∈N.

2. Montrer qu’il existe une unique fonction f solution de (1) telle que

— f est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0,

— f(0) = 0 etf⁰(0) = 1.

Calculer les coefficients et le rayon de convergence de la s´erie enti`ere obtenue.

Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques