D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes: (i) A(x

Universit´e Paris Dauphine Ann´ee universitaire 2008-2009 Analyse 3, DUMI2E

Chapitre 5: S´eries enti`eres

Exercice 1.

D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes:

(i) A(x) = P

n≥1 2ⁿnⁿ

(2n)!xⁿ, (ii)B(x) = P

n≥0

√n

n²+1xⁿ, (iii) C(x) = P

n≥1 ch(n) sh(n)²xⁿ, (iv) D(x) = P

n≥1

1 +⁽⁻¹⁾_nⁿn

xⁿ, (v) E(x) = P

n≥1

_sin(1 n) ln(1+_n¹)

n

xⁿ, (vi)F(x) = P

n≥1

(−1)^{n n}_n!ⁿx²ⁿ, (vii) G(x) = P

n≥0

cnxⁿ, o`u cn est le nombre de chiffres de nen base 10.

Exercice 2.

D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes en fonction du param`etrea >0:

(i) A(x) = P

n≥0

a(a+1)...(a+n−1)

n! xⁿ, (ii) B(x) = P

n≥0

(aⁿ−1)xⁿ, (iii)C(x) = P

n≥0

ln(1 +aⁿ)xⁿ.

Exercice 3.

D´eterminer le rayon de convergence R des s´eries enti`eres suivantes, ainsi que leur somme sur l’intervalle ]−R, R[.

(i) A(x) = P

n≥0

(2ⁿ+ 3ⁿ)xⁿ, (ii)B(x) = P

n≥0

(3n+ 1)x³ⁿ, (iii)C(x) = P

n≥0 1 (2n)!x⁴ⁿ, (iv) D(x) = P

n≥0

sin(n)xⁿ, (v) E(x) = P

n≥0 4ⁿ

n+1xⁿ⁺¹, (vi) F(x) = P

n≥0 cos(n)

n! xⁿ. Exercice 4.

Soit P

n≥0

anxⁿ, une s´erie enti`ere de rayon de convergence R.

1. a. Soit∀n∈N, b_n=a²_n. Montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0

b_nxⁿ est ´egal `a R².

b. En d´eduire le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0

sin² 1

3ⁿ

xⁿ.

2. a. Soit ∀n∈N, b2n =an, etb2n+1 = 0. Montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0

bnxⁿ est ´egal `a √ R.

b. En d´eduire le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0

ln 1 +₂¹n

x²ⁿ.

1

Exercice 5.

Soit P

n≥0

a_nxⁿ, une s´erie enti`ere de rayon de convergence ´egal `a 1, et

∀n∈N, b_n=

n

X

k=0

a_k.

1. a. Montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0

bnxⁿest sup´erieur ou ´egal

` a 1.

b. Soient S_a etS_b, les sommes des s´eries enti`eres P

n≥0

a_nxⁿ et P

n≥0

b_nxⁿ. En d´eduire que

∀x∈D(0,1), S_b(x) = 1

1−xS_a(x).

2. a. Prouver que

∀n∈N,

n

X

k=0

(k+ 1) = (n+ 1)(n+ 2)

2 .

b. En d´eduire que

∀x∈]−1,1[,

+∞

X

n=0

(n+ 1)(n+ 2)xⁿ= 2 (1−x)³. Exercice 6.

On consid`ere la s´erie enti`ere P

n≥2 (−1)ⁿ n(n−1)xⁿ.

1. D´eterminer le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere, de sa s´erie d´eriv´ee et de sa s´erie d´eriv´ee seconde.

2. Calculer la valeur de sa somme S.

Indication. On pourra commencer par calculer la d´eriv´ee seconde de S.

3. En d´eduire la valeur de

I =

+∞

X

n=2

(−1)ⁿ n(n−1). Exercice 7.

Montrer que les fonctions suivantes sont d´eveloppables en s´erie enti`ere, et calculer leur d´eve- loppement.

(i) f(x) =e^xcos(x), (ii)g(x) = ^ln(1+x)_x , (iii) h(x) = _x2−4x+3² , (iv)i(x) = ^ln(1+x)_1+x , (v) j(x) =Rx

0 e^−t2dt, (vi)k(x) = ln(1 +x+x²).

Exercice 8.

D´eterminer les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere des ´equations diff´erentielles suivantes.

(i) y⁰−x²y = 0, y(0) = 1; (ii) (1−x²)y⁰−2xy = 0; (iii)xy⁰⁰+ 2y⁰+xy = 0, y(0) = 1, y⁰(0) = 0;

2

(iv) xy⁰⁰+ 3y⁰−4x³y = 0; (v) (1 +x²)y⁰⁰+ 2xy⁰= 2, y(0) =y⁰(0) = 0; (vi)xy⁰−y= _1−x^x2 . Remarque. On exprimera explicitement les solutions obtenues `a l’aide des fonctions usuelles.

Exercice 9.

Soit

∀x∈]−1,1[, f(x) = 1

√1−x².

1. Montrer que la fonction f est l’unique solution de l’´equation diff´erentielle (1−x²)y⁰−xy= 0, y(0) = 1.

Indication. Pour montrer l’unicit´e, on pourra consid´erer une solution quelconquey, puis calculer la d´eriv´ee de la fonction x7→y(x)√

1−x².

2. En d´eduire que la fonction f est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−1,1[, et d´eterminer son d´eveloppement en s´erie enti`ere.

Exercice 10

On consid`ere l’´equation diff´erentielle ordinaire

y⁰⁰−2xy⁰−2y= 0. (1)

1. D´eterminer les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere de l’´equation (1).

2. Soit y, une solution de l’´equation (1), d´efinie et de classeC² surR. a. Montrer que

∀x∈R,

e^x2(e^−x2y(x))⁰0

= 0.

b. En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation (1).

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