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Colle – S´ eries enti` eres

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Academic year: 2022

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Math´ematiques 3 Semaine du 16 novembre L2 CUPGE - automne 2020

Colle – S´ eries enti` eres

— D´efinition d’une s´erie enti`ere, du rayon de convergence.

— Convergence normale et divergence grossi`ere des s´eries enti`eres, continuit´e de la somme.

— Crit`ere de Cauchy et de d’Alembert.

— Somme et produit de Cauchy de s´eries enti`eres.

— D´erivabilit´e de la somme d’une s´erie enti`ere, s´erie d´eriv´ee.

— Fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere.

— Formule de Taylor avec reste int´egrale, exemples de fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere.

Questions de cours

— D´efinir le rayon de convergenceR et montrer qu’on a convergence normale sur les boules ferm´ees de rayon < R.

— Montrer que pour tous a, b∈Con a exp(a+b) = exp(a) exp(b).

— Montrer que le rayon de convergence de la s´erie d´eriv´ee est ´egal `a celui de la s´erie initiale.

— ´Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Taylor avec reste int´egral.

— Montrer que x7→arctanx est d´eveloppable en s´erie enti`ere en z´ero.

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

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