Math´ematiques 3 Semaine du 16 novembre L2 CUPGE - automne 2020
Colle – S´ eries enti` eres
— D´efinition d’une s´erie enti`ere, du rayon de convergence.
— Convergence normale et divergence grossi`ere des s´eries enti`eres, continuit´e de la somme.
— Crit`ere de Cauchy et de d’Alembert.
— Somme et produit de Cauchy de s´eries enti`eres.
— D´erivabilit´e de la somme d’une s´erie enti`ere, s´erie d´eriv´ee.
— Fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere.
— Formule de Taylor avec reste int´egrale, exemples de fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere.
Questions de cours
— D´efinir le rayon de convergenceR et montrer qu’on a convergence normale sur les boules ferm´ees de rayon < R.
— Montrer que pour tous a, b∈Con a exp(a+b) = exp(a) exp(b).
— Montrer que le rayon de convergence de la s´erie d´eriv´ee est ´egal `a celui de la s´erie initiale.
— ´Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Taylor avec reste int´egral.
— Montrer que x7→arctanx est d´eveloppable en s´erie enti`ere en z´ero.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques