Programme de colles MP2
Semaine 16 (30 janvier-03 f´evrier 2017)
S´ eries enti` eres
Plan de cours
D´efinition d’une s´erie enti`ere, lemme d’Abel, rayon de convergence.
Convergence absolue en tout point du disque ouvert de convergence, convergence normale sur tout compact inclus dans ce disque ouvert.
Continuit´e de la somme sur le disque ouvert de convergence.
R`egle de d’Alembert.
Somme de deux s´eries enti`eres, produit de Cauchy de deux s´eries enti`eres : minoration de leur rayon de convergence.
S´erie enti`ere d’une variable r´eelle : elle est de classe C∞ sur l’intervalle ouvert de convergence. Int´egration, d´erivation terme `a terme.
Notion de d´eveloppement en s´erie enti`ere (d’une fonction d’une variable r´eelle ou complexe), en 0 uniquement.
Exemples classiques.
Toute fonction admettant un DSE en 0 est de classeC∞ au voisinage de 0, mais la r´eciproque est fausse.
Caract´erisation de l’existence d’un DSE en 0 avec la s´erie de Taylor.
M´ethode de l’´equation diff´erentielle. Exemple dex7→(1 +x)α. Exercices
S´eries enti`eres.
