Suites et s´ eries de fonctions I. Soit f n : R → R d´ efinie par f n (x) =

M1 Enseignement de Math´ ematiques, 2019-2010 Analyse 2, feuille III

Suites et s´ eries de fonctions I. Soit f n : R → R d´ efinie par f n (x) =

q

x ² + _n ¹

.

1. Montrer que la suite (f _n ) converge simplement sur R et d´ eterminer sa limite simple, not´ ee f . 2. Montrer que pour tout x ∈ R

|f _n (x) − f (x)| ≤ 1 n La convergence de (f _n ) vers f est-elle uniforme sur R ? 3. La fonction f est-elle d´ erivable ` a l’origine? Moralit´ e?

II. 1. Soit f _n : R → R d´ efinie par f _n (x) = √

nxe ^−nx . Montrer que la suite de fonctions (f _n ) converge simplement et uniform´ ement sur R + .

2. Soit g n : R → R d´ efinie par g n (x) = n ² xe ^−nx .

a. Montrer que la suite de fonctions (g _n ) converge simplement, mais pas uniform´ ement, sur R + . b. Calculer R 1

0 g _n (t)dt puis lim n→+∞ R 1

0 g _n (t)dt. A-t-on convergence uniforme sur [0, 1]?

III. (La somme d’une s´ erie de fonctions continues n’est pas toujours continue) Pour tout n ∈ N , on d´ efinit f _n : R → R , x 7→ x(1 − x) ⁿ .

1. Montrer que la s´ erie de fonctions P

f n converge simplement sur [0, 2[. On note f sa somme.

2. Calculer f et montrer que f n’est pas continue en 0.

IV. Pour tout n ∈ N ^∗ , on d´ efinit f n : R → R, x 7→ _n

+x ¹

. Montrer que P

f n converge normalement sur R . Sa somme f est-elle continue sur R ?

V. 1. Montrer que la s´ erie P

xe ⁻ⁿ

^x converge simplement sur R + . On note f sa somme.

2. Montrer que f est continue sur R + .

S´ eries enti` eres VI. Premi` ere ´ epreuve 2019, probl` eme 2

Soit k un entier naturel. On consid` ere la s´ erie enti` ere

S _k (x) =

+∞

X

n=k

n k

x ^n−k .

1. Calculer le rayon de convergence de S _k (x).

2. Montrer que S _k est d´ erivable sur ] − 1, 1[ et que, pour tout x ∈] − 1, 1[, S _k

(x) = (k + 1)S _k+1 (x).

3. Montrer par r´ ecurrence que, pour tout k ∈ N et pour tout x ∈] − 1, 1[, S _k (x) = 1

(1 − x) ^k+1 .

1

4. Soit x ∈] − 1; 1[. Justifier la convergence de la s´ erie P

n≥1 n ² x ⁿ⁻¹ et montrer que

+∞

X

n=1

n ² x ⁿ⁻¹ = 1 + x (1 − x) ³ .

(indication : on pourra exprimer n ² en fonction de ⁿ ₁ et ⁿ ₂

).

VII. Cours!!

Soient f et g deux fonctions d´ efinies sur un intervalle ] − R, R[ par f (x) = P +∞

n=0 a _n x ⁿ et g(x) = P +∞

n=0 b n x ⁿ .

1. Exprimer a n en fonction de f et de ses d´ eriv´ ees.

2. On suppose que f (x) = g(x) pour tout n ≥ 0. Montrer que a _n = b _n . 3. Soit x ∈ [0, R[. Exprimer R x

0 f (t)dt comme somme d’une s´ erie enti` ere.

4. Montrer que quel que soit l’entier n ≥ 0 la fonction f admet un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre n en 0 donn´ e par f (x) = a ₀ + a ₁ x + · · · + a _n x ⁿ + o(x ⁿ ).

VIII. La somme d’une s´ erie enti` ere

On consid` ere, pour x ∈ <sub>R</sub> et n ≥ 2, la s´ erie enti` ere P (−1)

n(n−1) x ⁿ . 1. Quel est son rayon de convergence R ?

2. Justifier que f est deux fois d´ erivable sur ] − R, R[ puis calculer f ⁰⁰ (x) pour tout x ∈] − R, R[.

En d´ eduire que f (x) = R x

0 ln(1 + t)dt pour tout x ∈] − R, R[. Calculer f (x) pour tout x ∈] − R, R[.

3. Montrer que la s´ erie P (−1)

n(n−1) x ⁿ converge normalement sur [−R, R] puis que f est continue sur [−R, R]. En d´ eduire la valeur de P +∞

n=2 (−1)

n(n−1) .

IX. D’apr` es la premi` ere ´ epreuve 2018 (comparer avec l’exercice pr´ ec´ edent)

Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles d´ efinie sur un intervalle ouvert I contenant 0. On rappelle que f est dite d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0 s’il existe R > 0 et une suite (a _n ) de nombres r´ eels tels que ] − R, R[⊂ I et f (x) = P +∞

n=0 a _n x ⁿ pour tout x ∈] − R, R[.

1. Montrer que x 7→ 1/(1 + x) est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0. Pr´ eciser le d´ eveloppement et le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere.

2. Justifier que, pour tout x ∈] − 1, 1[, ln(1 + x) = P +∞

k=0 (−1) ^{k x} _k+1

. On ´ enoncera avec soin le th´ eor` eme utilis´ e.

3. Pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N , on pose

S n (x) =

n

X

k=0

(−1) ^k x ^k+1 k + 1 .

Montrer que les deux suite (S _2n (x)) et (S _2n+1 (x)) sont adjacentes.

4. En d´ eduire que, pour tout x ∈ [0, 1[ et tout n ∈ N , on a S 2n+1 (x) ≤ ln(1 + x) ≤ S 2n (x).

5. En d´ eduire que, pour tout n ∈ N , S _2n+1 (1) ≤ ln(2) ≤ S _2n (1).

6. Montrer que ln(2) = P +∞

k=0 (−1) ^k _k+1 ¹ .

2

X. D´ eveloppement en s´ erie enti` ere de la fonction exponentielle r´ eelle 1. Rayon de convergence de la s´ erie enti` ere P _x

n! .

2. Calculer h ⁰ o` u c’est possible et v´ erifiez que h est solution du probl` eme de Cauchy y ⁰ = y et y(0) = 1.

3. Qu’est-ce que h?

XI. D´ evelopper en s´ erie enti` ere (x ∈ R : x 7→ arctan(x), x 7→ _(1−x) ¹

, x 7→ cos(x) (utiliser par exemple le premier exo de la feuille 2).

XII. Grand classique : s´ eries enti` eres et ´ equa. diff. (voir aussi l’exo X) Soit f : x 7→ e ^−x

^/2 R x

0 e ^t

^/2 dt. Montrer que f est C ¹ sur R et qu’elle est solution de l’´ equation diff´ erentielle

y ⁰ + xy = 1

avec la condition initiale y(0) = 0. Montrer qu’il existe des sommes de s´ eries enti` eres solutions de cette ´ equation diff´ erentielle. En d´ eduire que f est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere.

XIII. Pour s’entrainer...

Rayon de convergence de P _n

n! z ⁿ , P a

√ n z ⁿ (a > 0), P

n ^{ln n} z ⁿ , P

(1 + a ⁿ )z ⁿ , P

P(n)z ⁿ (P est une fonction polynomiale), P (−1)

2n+1 z ²ⁿ⁺¹ .

3