CHAPITRE 1 S´ERIES ENTI`ERES ET FONCTIONS ANALYTIQUES

CHAPITRE 1

S´ ERIES ENTI` ERES ET FONCTIONS ANALYTIQUES

. — Ins´ erer ce qui suit apr` es I.1.5 du polycopi´ e.

Les remarques I.1.4 et I.1.5 du calcul du rayon de convergence sont des cas parti- culiers de la formule d’Hadamard. Pour introduire cette formule, nous avons besoin de la d´ efinition de limite sup´ erieure.

D´ efinition 1.0.1. — Soit (u

)

une suite de nombres r´ eels, on pose

U

= sup

{u

}.

(i) La suite des U

converge vers une limite finie (ou infinie), qui est appel´ ee la limite sup´ erieure de la suite (u

) et not´ ee limsup u

ou encore lim u

.

(ii) Si la suite (u

) converge vers une limite l, alors lim u

converge vers l.

D´ emonstration. On a

U

= max{u

, U

},

si bien que la suite U

est d´ ecroissante. Plusieurs cas sont possibles. D’abord, cette suite peut ˆ etre constante et ´ egale ` a +∞. Dans ce cas, la limite de cette suite vaut +∞. Sinon, U

prend une valeur finie r´ eelle pour p assez grand. Si cette suite est minor´ ee, elle converge et sinon elle diverge vers −∞.

La deuxi` eme assertion est laiss´ ee en exercice.

Voici un moyen concret de trouver la valeur de la limite sup´ erieure d’une suite de nombres r´ eels, et qui n´ ecessite une nouvelle d´ efinition.

D´ efinition 1.0.2. — (1) Soit (u

)

une suite de nombres r´ eels. Soit ϕ une injection croissante : N → N. La suite (u

) est appel´ ee suite extraite de (u

).

(2) On appelle valeur d’adh´ erence de (u

) la limite d’une suite extraite de (u

).

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CHAPITRE 1. S ´ ERIES ENTI ` ERES ET FONCTIONS ANALYTIQUES

Toute suite r´ eelle poss` ede une valeur d’adh´ erence, ´ eventuellement infinie. Suppo- sons en effet que +∞ et −∞ ne soient pas valeurs d’adh´ erence de (u

), alors (u

) est born´ ee et est donc ` a valeurs dans un intervalle [−a, a] avec a > 0. Cet intervalle est compact, de sorte qu’il existe une suite extraite de (u

) convergeant dans cet intervalle vers une limite l qui est donc une valeur d’adh´ erence de (u

).

On a alors :

Proposition 1.0.3. — La limite sup´ erieure d’une suite r´ eelle (u

) est la plus grande valeur d’adh´ erence de (u

).

D´ emonstration. D’abord, S = lim u

est une valeur d’adh´ erence de la suite (u

).

En effet, posons ϕ(0) = 0 et supposons construit ϕ : {0, . . . , n} → {0, . . . , n} tel que

∀n ∈ N

, |u

− S| ≤

. Comme la suite (U

) converge vers S, il existe a

∈ N

tel que

|U

− S| ≤ 1 2(n + 1) .

Et, par d´ efinition de la borne sup´ erieure, il existe u

, avec ϕ(n + 1) ≥ ϕ(n) tel que

|U

− u

| ≤ 1 2(n + 1) soit

|u

− S| ≤ 1 n + 1 .

Ceci montre qu’on peut construire ϕ : N → N par r´ ecurrence tel que u

converge vers S et que S est une valeur d’adh´ erence.

Consid´ erons M la borne sup´ erieure de l’ensemble des valeurs d’adh´ erence de la suite (u

). Comme une limite de valeurs d’adh´ erence est une valeur d’adh´ erence de la suite (u

) (cette remarque est laiss´ ee en exercice), M est une valeur d’adh´ erence de (u

) et c’est la plus grande valeur d’adh´ erence de cette suite. En particulier, M ≥ S.

Montrons l’in´ egalit´ e inverse. Soit ϕ une injection croissante telle que u

→ M.

Alors

lim u

≥ lim u

, donne S ≥ M .

Exemples :

(1) La suite de terme g´ en´ eral u

= (−1)

poss` ede deux valeurs d’adh´ erence : 1 et

−1, et lim u

= 1.

(2) La suite de terme g´ en´ eral u

= k et u

= 0 pour les autres valeurs de n

poss` ede 0 et +∞ comme valeurs d’adh´ erence, et lim u

= +∞.

3

Ces consid´ erations nous am` enent ` a la formule d’Hadamard.

Proposition 1.0.4. — Le rayon de convergence ρ de la s´ erie enti` ere P

a

z

est donn´ e par

1

ρ = lim |a

|

.

D´ emonstration. Soient r > 0 tel que r < ρ, et ρ

tel que r < ρ

< ρ. Pour p assez grand, on a l’in´ egalit´ e

1

ρ ≤ Sup

|a

|

≤ 1 ρ

,

c’est-` a-dire

|a

| ≤ 1 ρ

pour n assez grand, ce qui donne

|a

|r

≤ r

ρ

pour n assez grand et la convergence normale de la s´ erie P

a

z

pour r < ρ.

Soit maintenant r > ρ. Il existe ρ

> 0 tel que r > ρ

> ρ. Soit (a

) une suite extraite de (a

) telle que |a

|

→ 1/ρ. Alors

|a

|

| ≥ 1 ρ

, pour n assez grand, de sorte que

r

|a

| ≥ r

ρ

pour n assez grand. Ce qui montre que la s´ erie P

a

z

diverge grossi` erement pour

|z| > ρ et la proposition.

Les s´ eries enti` eres, dont beaucoup de termes sont nuls, sont appel´ ees lacunaires.

Exercices.

(1) Soit (a

) une suite de nombres complexes. Montrer que si

a

a

→ l,

alors

lim |a

|

= l, et donc que le rayon de convergence de la s´ erie P

a

z

est ´ egal ` a

.

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CHAPITRE 1. S ´ ERIES ENTI ` ERES ET FONCTIONS ANALYTIQUES

(2) 1- Donner le rayon de convergence de la s´ erie f(z) = X

n≥0

z

puis le rayon de convergence de la s´ erie

g(z) = X

n≥0

z

n ,

enfin le rayon de convergence de

h(z) = X

n≥0

z

3

.

2- (i) Montrer que f diverge en 1, en −1 et en toute racine 2

-i` eme de l’unit´ e pour tout entier k.

(ii) Soient ξ une racine 2

-i` eme de l’unit´ e, z = rξ pour r ∈ [0, 1[, et

∀r ∈ [0, 1[, g(r) = X

n≥0

r

.

(iii) Montrer que ∀r ∈ [0, 1[, f (rξ) − g(r) est un polynˆ ome en r.

(iv) Montrer que g est croissante et tend vers +∞ si r → 1. Montrer que f n’est pas born´ ee au voisinage de ξ.

(v) Soient α > 0, ζ ∈ C tel que |ζ| = 1, D

= D(ζ, α). Montrer que f n’est pas la restriction ` a D

T

D(0, 1) d’une fonction analytique sur D

(indication : on pourra utiliser les fait que l’ensemble des racines 2

-i` emes de

l’unit´ e est dense dans le cercle unit´ e).