Exercice 1. Primitives de r´ ef´ erence

(1)

Feuille n

^o

7 MM2

Int´ egration

Exercice 1. Primitives de r´ ef´ erence

D´ eterminer une primitive F de la fonction f en pr´ ecisant le domaine I ⊂ R de validit´ e.

f I F

x

ⁿ

(n ∈ N )

x

^a

(a ∈ R)

e

^ax

(a ∈ C

^∗

)

a

^x

(a > 0, a 6= 1)

cos(ax + b) (a, b ∈ R , a 6= 0)

sin(ax + b) (a, b ∈ R , a 6= 0)

ln(x)

1

(x−c)²+a²

(a > 0)

√ 1

a²−x²

(a, b ∈ R, a 6= 0)

1 cos²(x)

1 cos(x)+1

1 sin(x)

√ 1

x²+a

(a ∈ R

^∗

)

1

(2)

Exercice 2. Calculer les int´ egrales suivantes : a)

Z

3 1

5t

²

+ 3t − 5 + 1 t

³

dt b)

Z

π 0

cos

⁴

(x)dx

c) Z

π/2

0

sin

²

(x) cos

³

(x)dx d)

Z

π/4 0

tan

²

(x)dx

e) Z

1/2

0

arcsin

³

(x)

√

1 − x

²

dx f)

Z

2 1

(ln(x))

⁵

x dx Exercice 3. 1. Pour tout (m, n) ∈ N

^∗

, calculer les int´ egrales

Z

2π 0

sin(mx)dx, Z

2π

0

cos(mx)dx, Z

2π

0

sin(mx) sin(nx)dx, Z

2π

0

cos(mx) cos(nx)dx et Z

2π

0

sin(mx) cos(nx)dx.

2. Soit f d´ efinie sur R par f (x) = c+

n

X

k=1

(a

_k

cos(kx)+b

_k

sin(kx)) avec n ∈ N

^∗

et c, a

1

, . . . , a

n

, b

1

, . . . , b

n

des constantes r´ eelles.

Calculer 1 2π

Z

_2π

0

f (x)dx et calculer, pour tout m ∈ N

^∗

, 1 π

Z

_2π

0

f (x) cos(mx)dx et 1 π

Z

_2π

0

f (x) sin(mx)dx.

Exercice 4. D´ eterminer la limite quand x tend vers 0 de Z

_3x

x

cos(t) t . Indication : encadrer cos(t) ` a l’aide du th´ eor` eme de Taylor-Lagrange.

Exercice 5. G´ en´ eralisation de la formule de la moyenne

Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b], tel que g ≥ 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f (c)

Z

b a

g(x) dx = Z

b

a

f(x)g(x) dx.

Exercice 6. D´ eterminer une primitive de ln(x), arctan(x), arcsin(x), x

²

sin(x) et x

²

e

^−2x

. Exercice 7. Pour tout n ∈ N , on pose I

_n

=

Z

1 0

x

ⁿ

e

^x

dx.

1. Etudier les variations, la convergence de I

n

, et la limite de I

n

. 2. D´ eterminer une relation entre I

n

et I

n+1

pour tout n ∈ N.

3. En d´ eduire un ´ equivalent de I

n

quand n tend vers +∞.

4. En d´ eduire un d´ eveloppement asymptotique ` a 2 termes de I

n

. Exercice 8. 1. D´ eterminer a et b tels que, pour tout x ∈ R : 1

x(x + 1) = a x + b

x + 1 . 2. Pour tout x ∈ R , calculer

Z

x 0

dt 1 + e

^t

.

3. Retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent en remarquant que 1

1 + e

^t

= e

^−t

e

^−t

+ 1 . Exercice 9. 1. Calculer

Z

3 0

x √

1 + xdx.

Indication : On pourra faire le changement de variable u = √ 1 + x.

2

(3)

2. Calculer Z

1

0

dx (x

²

+ 1)

^3/2

.

Indication : On pourra faire le changement de variable x = tan(t).

Exercice 10. D´ eterminer une primitive de f sur chaque intervalle o` u elle est d´ efinie : a) f(x) = x

³

− 2x − 1

x

²

− x b) f (x) = x

²

(x − 1)

²

c) f(x) = 1

(2x + 3)(15x + 7) d) f (x) = 1

4x

²

+ 20x + 34 e) f(x) = 3x + 1

x

²

+ x + 1 f) f (x) = x

³

4x

²

+ 4x + 10 Exercice 11. Calculer les primitives suivantes :

Z

(cos x cos 2x + sin x sin 3x)dx ; Z

cos x sin

⁴

xdx ; Z

cos

⁶

xdx ; Z

sin

³

x cos xdx ; Z

sin

⁴

xdx ; Z

sin

³

x cos

²

xdx ; Z

ch

²

xsh

²

xdx ; Z

shxch

³

xdx ; Z

chxsh

³

xdx.

Exercice 12. D´ eterminer les intervalles d’´ etude et calculer les primitives des fonctions : x cos

²

x

cos(2x) cos

²

x

Exercice 13. Calculer les primitives suivantes, en pr´ ecisant si n´ ecessaire les intervalles de validit´ e des calculs :

a) Z

sin

⁸

x cos

³

xdx b) Z

cos

⁴

xdx c) Z

cos

²⁰⁰³

x sin xdx d)

Z 1

2 + sin x + cos x dx e)

Z 1

sin x dx f )

Z 1

cos x dx g)

Z 3 − sin x

2 cos x + 3 tan x dx h)

Z 1

7 + tan x dx Exercice 14. Int´ egrales de Wallis

1. Pour tout n ∈ N , on consid` ere l’int´ egrale W

_n

=

Z

π/2 0

cos

ⁿ

(t) dt.

(a) Montrer que

nW

_n

= (n − 1)W

n−2

. (b) Calculer W

0

et W

1

.

(c) D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que

W

2n

= π (2n)!

2

²ⁿ⁺¹

(n!)

²

et

W

_2n+1

= 2

²ⁿ

(n!)

²

(2n + 1)! .

3

(4)

2. On se propose maintenant d’´ etudier la suite (W

_n

)

_n∈

N

.

(a) V´ erifier qu’il s’agit d’une suite d´ ecroissante dont tous les termes sont strictement positifs.

(b) En utilisant nW

_n

= (n − 1)W

n−2

, d´ emontrer que W

_n

∼

_n→∞

W

n−1

. (c) En d´ eduire que

W

_n

∼

n→∞