Feuille n
o7 MM2
Int´ egration
Exercice 1. Primitives de r´ ef´ erence
D´ eterminer une primitive F de la fonction f en pr´ ecisant le domaine I ⊂ R de validit´ e.
f I F
x
n(n ∈ N )
x
a(a ∈ R)
e
ax(a ∈ C
∗)
a
x(a > 0, a 6= 1)
cos(ax + b) (a, b ∈ R , a 6= 0)
sin(ax + b) (a, b ∈ R , a 6= 0)
ln(x)
1
(x−c)2+a2
(a > 0)
√ 1
a2−x2
(a, b ∈ R, a 6= 0)
1 cos2(x)
1 cos(x)+1
1 sin(x)
√ 1
x2+a
(a ∈ R
∗)
1
Exercice 2. Calculer les int´ egrales suivantes : a)
Z
3 15t
2+ 3t − 5 + 1 t
3dt b)
Z
π 0cos
4(x)dx
c) Z
π/20
sin
2(x) cos
3(x)dx d)
Z
π/4 0tan
2(x)dx
e) Z
1/20
arcsin
3(x)
√
1 − x
2dx f)
Z
2 1(ln(x))
5x dx Exercice 3. 1. Pour tout (m, n) ∈ N
∗, calculer les int´ egrales
Z
2π 0sin(mx)dx, Z
2π0
cos(mx)dx, Z
2π0
sin(mx) sin(nx)dx, Z
2π0
cos(mx) cos(nx)dx et Z
2π0
sin(mx) cos(nx)dx.
2. Soit f d´ efinie sur R par f (x) = c+
n
X
k=1
(a
kcos(kx)+b
ksin(kx)) avec n ∈ N
∗et c, a
1, . . . , a
n, b
1, . . . , b
ndes constantes r´ eelles.
Calculer 1 2π
Z
2π0
f (x)dx et calculer, pour tout m ∈ N
∗, 1 π
Z
2π0
f (x) cos(mx)dx et 1 π
Z
2π0
f (x) sin(mx)dx.
Exercice 4. D´ eterminer la limite quand x tend vers 0 de Z
3xx
cos(t) t . Indication : encadrer cos(t) ` a l’aide du th´ eor` eme de Taylor-Lagrange.
Exercice 5. G´ en´ eralisation de la formule de la moyenne
Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b], tel que g ≥ 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f (c)
Z
b ag(x) dx = Z
ba
f(x)g(x) dx.
Exercice 6. D´ eterminer une primitive de ln(x), arctan(x), arcsin(x), x
2sin(x) et x
2e
−2x. Exercice 7. Pour tout n ∈ N , on pose I
n=
Z
1 0x
ne
xdx.
1. Etudier les variations, la convergence de I
n, et la limite de I
n. 2. D´ eterminer une relation entre I
net I
n+1pour tout n ∈ N.
3. En d´ eduire un ´ equivalent de I
nquand n tend vers +∞.
4. En d´ eduire un d´ eveloppement asymptotique ` a 2 termes de I
n. Exercice 8. 1. D´ eterminer a et b tels que, pour tout x ∈ R : 1
x(x + 1) = a x + b
x + 1 . 2. Pour tout x ∈ R , calculer
Z
x 0dt 1 + e
t.
3. Retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent en remarquant que 1
1 + e
t= e
−te
−t+ 1 . Exercice 9. 1. Calculer
Z
3 0x √
1 + xdx.
Indication : On pourra faire le changement de variable u = √ 1 + x.
2
2. Calculer Z
10
dx (x
2+ 1)
3/2.
Indication : On pourra faire le changement de variable x = tan(t).
Exercice 10. D´ eterminer une primitive de f sur chaque intervalle o` u elle est d´ efinie : a) f(x) = x
3− 2x − 1
x
2− x b) f (x) = x
2(x − 1)
2c) f(x) = 1
(2x + 3)(15x + 7) d) f (x) = 1
4x
2+ 20x + 34 e) f(x) = 3x + 1
x
2+ x + 1 f) f (x) = x
34x
2+ 4x + 10 Exercice 11. Calculer les primitives suivantes :
Z
(cos x cos 2x + sin x sin 3x)dx ; Z
cos x sin
4xdx ; Z
cos
6xdx ; Z
sin
3x cos xdx ; Z
sin
4xdx ; Z
sin
3x cos
2xdx ; Z
ch
2xsh
2xdx ; Z
shxch
3xdx ; Z
chxsh
3xdx.
Exercice 12. D´ eterminer les intervalles d’´ etude et calculer les primitives des fonctions : x cos
2x
cos(2x) cos
2x
Exercice 13. Calculer les primitives suivantes, en pr´ ecisant si n´ ecessaire les intervalles de validit´ e des calculs :
a) Z
sin
8x cos
3xdx b) Z
cos
4xdx c) Z
cos
2003x sin xdx d)
Z 1
2 + sin x + cos x dx e)
Z 1
sin x dx f )
Z 1
cos x dx g)
Z 3 − sin x
2 cos x + 3 tan x dx h)
Z 1
7 + tan x dx Exercice 14. Int´ egrales de Wallis
1. Pour tout n ∈ N , on consid` ere l’int´ egrale W
n=
Z
π/2 0cos
n(t) dt.
(a) Montrer que
nW
n= (n − 1)W
n−2. (b) Calculer W
0et W
1.
(c) D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que
W
2n= π (2n)!
2
2n+1(n!)
2et
W
2n+1= 2
2n(n!)
2(2n + 1)! .
3
2. On se propose maintenant d’´ etudier la suite (W
n)
n∈N