Universit´ e de Lorraine UFR MIM
Calculs et math´ ematiques - L1 2013/2014
Feuille d’exercices n
o4 Primitives et int´ egrales
Exercice 1
1. Calculer les primitives suivantes : Z
cos
2(x) dx , Z
cos
3(x) dx , Z
sin
3(x) dx . 2. Calculer les primitives suivantes :
Z ln(x) x dx ,
Z
xe
xdx ,
Z 2x + 1
√ x
2+ x + 1 dx ,
Z 1
x
2+ a
2dx ,
Z cos(x)
(1 + sin(x))
4dx ,
Z x
(x
2+ 1)
3dx . Exercice 2 Calculer les primitives suivantes :
Z
cos
3(x) dx , Z
sin
3(x) dx Z
cos
3(x) sin
2(x) dx , Z
(cos(x) cos(2x) + sin(x) sin(2x)) dx Exercice 3 Montrer que pour tout x ∈ R ,
(1 + cos(2x))
2= 3
2 + 2 cos(2x) + 1
2 cos(4x) . En d´ eduire une primitive de la fonction x 7→ (1 + cos(2x))
2.
Exercice 4 Calculer les primitives suivantes : Z
(2x − 1)e
xdx , Z
x
2(1 − 2 ln(x)) dx , Z
(2t − 1) sin(t) dt . Exercice 5 Calculer les primitives suivantes :
Z
e
xcos(x) dx , Z
x ln(x) dx , Z
x
2ln(x) dx , Z
(x
2+ x + 1)e
xdx .
Exercice 6 Soient I =
Z
(2t − 3) cos
2(t) dt et J = Z
(2t − 3) sin
2(t) dt 1. Calculer I + J.
2. Calculer I − J (en utilisant par exemple une int´ egration par partie).
3. Calculer I et J . Exercice 7 Calculer
Z 1
1 + cosh(x) dx Exercice 8 Calculer les primitives suivantes :
Z 1
x(x − 1) dx ,
Z dx 1 − x
2,
Z 2x + 3
(x − 2)(x + 5) dx . Z dx
x(x
2− 1) ,
Z dx
(x + 2)(x
2+ 2x + 5) ,
Z x
3x
2+ 4 dx . Exercice 9 A l’aide du changement de variable u =
x32, calculer
Z x
x
4+ 9 dx
Exercice 10 (Changements de variables) Calculer les int´ egrales suivantes : Z
41
1 − √
√ t t dt ,
Z
21
e
x1 + e
xdx , Z
e1
(ln(x)
nx dx (n ∈ N ) , F (x) = Z
x1
