Int´ egrales de Wallis

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Int´ egrales de Wallis

Partie A – Int´ egrales et formules de Wallis

On consid`ere la suite (un)_n∈

Nd´efinie, pour tout entier naturel, par : un=

Z ^π₂

0

(cos(t))ⁿdt.

A.1Calculeru0,u1 etu2. A.2Montrer que la suite (u_n)_n∈

N est d´ecroissante, puis qu’elle converge.

A.3Etablir la relation´ un= ⁿ⁻¹_n u_n−2, pour toutn>2.

A.4En d´eduire une expression sous forme de produits, deu_2net deu_2n+1. On donnera ensuite une expression de ces termes `a l’aide de factorielles, de puissances de 2 et du nombreπ.

Indication : remarquer que (1·3· · ·(2n+ 1))(2·4· · ·(2n)) = (2n+ 1)! et que (2·4· · ·(2n)) = 2ⁿn!.

A.5Montrer que pour tout entier natureln: u2n·u2n+1=_2(2n+1)^π . En d´eduire la limite de (un)_n∈N. A.6Montrer : u2n∼u2n+1.

A.7Etablir, `´ a l’aide des questions pr´ec´edentes, lesformules de Wallis : u_n ∼

r π

2n et √

π∼ 4ⁿ(n!)² (2n)!√

n.

Partie B – Une application

Pour tout entiern>0 et tout r´eelx, on posefn(x) =x²(cos(x))ⁿ etIn=R^π₂

0 fn(x)dx.

B.1CalculerI₀ etI₁.

B.2Montrer, pour tout entier naturel non nuln:

(2n−1)I2n−2−2nI2n= 1 nu2n.

B.3Montrer, pour toutn∈N: 06In6^π4²(un−un+2). En d´eduire queIn = o(un).

B.4V´erifier que pour tout entier naturel non nuln: π²

6 −

n

X

k=1

1

k² =2I_2n u2n

.

B.5Montrer : lim

n

Pn k=1

1 k² = ^π₆².