Int´ egrales de Bertrand

Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

TP n˚9

Int´ egrales de Bertrand

Question 1 : Soientαetβ deux r´eels strictements positifs. Justifier l’existence (dansR) de la limite :

A→+∞lim Z A

2

1

x^α ln^β(x) dx.

Question 2 : A l’aide des commades` int et limit de Maple, compl´eter le texte suivant pour ´etablir une conjecture sur les int´egrales impropres :

Z +∞

2

1

x^α ln^β(x) dx

o`uαet β sont deux r´eels strictement positifs. Ces int´egrales impropres sont appel´ees int´egrales de Bertrand.

Cas o`uα >1 etβ >0 L’int´egrale impropre

Z +∞

2

1

x^α ln^β(x) dxest . . . . Cas o`uα= 1 etβ >1

L’int´egrale impropre Z +∞

2

1

x^α ln^β(x) dxest . . . . et on a l’´egalit´e : . . . .

Cas o`uα= 1 et 0< β≤1 L’int´egrale impropre

Z +∞

2

1

x^α ln^β(x) dxest . . . . Cas o`u 0< α <1 etβ >0

L’int´egrale impropre Z +∞

2

1

x^α ln^β(x) dxest . . . .

1

Question 3 : D´emontrer la conjecture faite `a la question 2. dans le cas o`uα >1 etβ >0.

Question 4 : Soitβ >0. Donner une primitive de la fonctionf: ]2,+∞[→R; x7→ 1

x ln^β(x).On distinguera plusieurs cas.

Question 5 : D´emontrer la conjecture faite `a la question 2. dans le cas o`uα= 1 etβ >1.

Question 6 : D´emontrer la conjecture faite `a la question 2. dans le cas o`uα=β= 1.

Question 7 : D´emontrer la conjecture faite `a la question 2. dans le cas o`uα= 1 etβ <1.

2

Question 8 : D´emontrer la conjecture faite `a la question 2. dans le cas o`u 0< α <1 etβ >0.

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