Sup PCSI 2 — Colles n◦ 29 et 30 — Quinzaine du 31/5 au 11/6
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 Fonctions de plusieurs variables
•L’´etude a port´e essentiellement sur les fonctionshhr´eelles de deux variables r´eellesii, d´efinies sur un ouvert deR2.
•Ouverts deR2: d´efinition, exemples.
•Limite, limite directionnelle. Continuit´e.
•D´eriv´ee directionnelle, d´eriv´ees partielles.
•D´efinition du d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 ; existence admise lorsquef est de classeC1. D´efinition du gradient.
◮•Extremums locaux : condition n´ecessaire d’existence.
2 Int´ egrales multiples
Pourf ∈ C¡
[a, b]×[c, d]¢ ,R¢
, on admet : Z x=b
x=a
³Z y=d
y=c
f(x, y)dy´ dx=
Z y=d
y=c
³Z x=b
x=a
f(x, y)dx´ dy La valeur commune est alors not´ee
Z Z
[a,b]×[c,d]
f(x, y)dx dy.
Extension `a Z Z
K
f(x, y)dx dy, o`u K=©
(x, y) : a6x6betg(x)6y 6h(x)ª . Interpr´etation : sif >0,
Z Z
K
f(x, y)dx dy est le volume de©
(x, y, z) : (x, y)∈Ket 06z6f(x, y)ª . Lin´earit´e de l’int´egrale double, positivit´e, additivit´e vis-`a-vis du domaine d’int´egration sont admises.
◮Changements de variables : seul le passage en coordonn´ees polaires a ´et´e vu.
◮Int´egrales triples : extension des d´efinitions pr´ec´edentes. Changements de variables : seuls ont ´et´e vus les passages en coordonn´ees cylindriques et en coordonn´ees sph´eriques ; pour ce dernier, θd´esigne la longitude etϕla colatitude.
◮Applications : d´etermination du centre de gravit´e d’une plaque homog`ene, d’un solide homog`ene ; calcul du moment d’inertie d’un solide homog`ene par rapport `a un axe.
Les ´etudiantes et les ´etudiants de la PCSI2 (et leur professeur de math´ematiques) remercient les interrogatrices et les interrogateurs pour leur travail efficace de pr´eparation `a l’oral, et leur souhaitent d’excellentes vacances.
