Pr´ eparation ` a l’Agr´ egation de Math´ ematiques Pr´ eparation ` a l’´ ecrit d’Analyse et Probabilit´ es Ann´ ee 2013-2014

Universit´ e Lyon 1

Pr´ eparation ` a l’Agr´ egation de Math´ ematiques Pr´ eparation ` a l’´ ecrit d’Analyse et Probabilit´ es Ann´ ee 2013-2014

Interpolation. Convolution

Exercice 1. (Lemme des trois droites de Hadamard ) Soit f : B → C une fonction continue , o` u B d´ esigne la bande verticale {z ∈ C ; Re z ∈ [0, 1]}. On suppose en outre que f est born´ ee sur B et holomorphe sur la bande ouverte ˚ B. On note M ₀ , resp. M ₁ , un majorant strictement positif de |f| sur la droite ı R , resp. sur la droite 1 + ı R . L’objectif est de montrer l’in´ egalit´ e

|f(z)| ≤ M ₀ ^{1−Re z} M ₁ ^{Re z} , ∀ z ∈ B.

a) En introduisant une fonction auxiliaire appropri´ ee, montrer que l’on peut supposer sans perte de g´ en´ eralit´ e que M ₀ = M ₁ = 1. On fait cette hypoth` ese d´ esormais.

b) D´ emontrer le r´ esultat en supposant de plus que lim

|z|→∞ |f(z)| = 0. [Indication : utiliser le principe du maximum (cf Rudin, th´ eor´ eme 10.24 p. 254).]

c) Pour tout n ∈ N ^∗ , on pose f _n (z) = f (z) e ^z

^/n e ^−1/n . Montrer que f _n rel´ eve du cas pr´ ec´ edent et conclure.

Exercice 2. (Th´ eor` eme d’interpolation de Riesz-Thorin) Soient (Ω, µ) et (U, ν ) deux espaces mesur´ es, et des op´ erateurs lin´ eaires continus

T ₀ : L ^p

(Ω, dµ) → L ^q

(U, dν), de norme M ₀ , T 1 : L ^p

(Ω, dµ) → L ^q

(U, dν), de norme M 1 ,

pour p ₀ , q ₀ , p ₁ , q ₁ ∈ [1, +∞], p ₀ 6= p ₁ . On suppose que T ₀ et T ₁ co¨ıncident sur F := L ^p

(Ω, dµ) ∩ L ^p

(Ω, dµ). L’objectif est de montrer que T := (T 0 ) |F = (T 1 ) |F se prolonge en une (unique) application lin´ eaire continue

T e : L ^p (Ω, dµ) → L ^q (U, dν) , de norme M ≤ M ₀ ^1−θ M ₁ ^θ , pour 1

p = 1 − θ p ₀ + θ

p ₁ et 1

q = 1 − θ q ₀ + θ

q ₁ , quel que soit θ ∈]0, 1[.

a) On note q ⁰ l’exposant conjugu´ e de q, d´ efini par 1

q ⁰ = 1 − 1

q . On note aussi hh, gi = Z

U

h(y)g(y) dν d` es lors que cette int´ egrale a un sens, c’est-` a-dire si hg ∈ L ¹ (U, dν). Mon- trer qu’il suffit de v´ erifier l’in´ egalit´ e|hT f, gi| ≤ M ₀ ^1−θ M ₁ ^θ , quelles que soient les fonctions

´ etag´ ees f : Ω → C et g : U → C telles que kf k _L

_(Ω,dµ) = kgk _L

(U,dν) = 1.

b) Pour f : Ω → C et g : U → C ´ etag´ ees et pour 0 ≤ Re z ≤ 1, on pose 1

p(z) = 1 − z p 0

+ z p 1

, 1

q(z) = 1 − z q 0

+ z q 1

,

ϕ(x, z) = f (x)|f (x)| p/p(z) − 1 , ψ(y, z) = g(y)|g(y)| q ⁰ /q(z) ⁰ − 1 .

Montrer que l’expression F (z) = hT ϕ(·, z), ψ(·, z)i d´ efinit une fonction F v´ erifiant les hypoth´ eses du lemme des trois droites de Hadamard.

c) Conclure.

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Quelques d´ efinitions. Pour des fonctions f, g : R ⁿ → C , on pose (f ∗ g)(x) =

Z

R

f (x − y)g(y)dy

pour tout x ∈ R ⁿ tel que l’int´ egrale (par rapport ` a la mesure de Lebesgue) ait un sens. Dans tout ce qui suit, D ( R <sup>n</sup> ) d´ esigne l’ensemble des fonctions de classe C <sup>∞</sup> ` a support compact dans R ⁿ , et pour toute partie A de R ⁿ , 1 _A d´ esigne la fonction caract´ eristique de A, valant 1 dans A et 0 en dehors.

Exercice 3. (Construction de

plateaux

) On commence par se placer dans R (cas n = 1).

a) Pour tout a > 0 on d´ efinit H _a := 1

a 1 _[0,a] . Soit (a _n ) n≥0 une suite sommable de nombres strictement positifs. On pose u _n = H _a

∗ H _a

∗ . . . ∗ H _a

. Montrer que (u _n ) converge uniform´ ement vers une fonction positive u ∈ D ( R ) telle que R

R u = 1.

b) Montrer que pour un intervalle I ⊂ R bien choisi, v = 1 _I ∗ u v´ erifie : (i) v ≥ 0 ;

(ii) v = 1 au voisinage de 0.

c) Avec v comme dans la question pr´ ec´ edente, soit w(x) = v (kxk), x ∈ R ⁿ (avec k k la norme euclidienne). Montrer que w ∈ D ( R ⁿ ).

d) Montrer qu’il existe un noyau r´ egularisant, c’est-` a-dire une fonction ρ ∈ D ( R ⁿ ) telle que : (i) ρ ≥ 0 ;

(ii) supp ρ ⊂ B(0, 1) ; (iii) R

R

ρ = 1.

Si ρ est un noyau r´ egularisant, on pose ρ _ε (x) = ε ⁻ⁿ ρ(x/ε), ε > 0. Quelles sont les propri´ et´ es de ρ ε ?

e) Soit K ⊂ U ⊂ R ⁿ , K ´ etant un compact, U un ouvert. Montrer qu’il existe ψ ∈ D ( R ⁿ ) telle que :

(i) 0 ≤ ψ ≤ 1 ; (ii) ψ = 1 sur K ; (iii) supp ψ ⊂ U .

Exercice 4. (Convolution dans les espaces L ^p )

a) Soient f, g ∈ L ¹ ( R ⁿ ). Montrer que f ∗ g ∈ L ¹ ( R ⁿ ) et kf ∗ gk _L

≤ kfk _L

kgk _L

.

b) Soient f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) et g ∈ L ^p ( R ⁿ ) avec 1 ≤ p ≤ ∞. Montrer que f ∗ g ∈ L ^p ( R ⁿ ) et kf ∗ gk _L

≤ kfk _L

kgk _L

. [Indication : utiliser le cas p = 1 et l’in´ egalit´ e de H¨ older.]

c) (in´ egalit´ e de Young) Soient f ∈ L ^q ( R ⁿ ) et g ∈ L ^p ( R ⁿ ) avec 1 ≤ p, q ≤ ∞ et 1 p + 1

q ≥ 1.

Montrer que f ∗ g ∈ L ^r ( R ⁿ ) et kf ∗ gk L

≤ kfk L

kgk L

, avec 1 r = 1

p + 1

q − 1. [Indication : utiliser le cas q = 1, r = p, le cas r = ∞, q = p ⁰ , et le th´ eor` eme d’interpolation de Riesz-Thorin.] Montrer que f ∗ g = g ∗ f .

d) Soient f ∈ D ( R ⁿ ) et g ∈ L ¹ _loc ( R ⁿ ). Montrer que f ∗g ∈ C ^∞ ( R ⁿ ) et que ∂ ^α (f ∗g) = (∂ ^α f)∗g pour tout n-uplet α.

e) Pour f ∈ L ¹ _loc ( R ⁿ ), On d´ efinit supp f comme le plus petit ferm´ e F tel que f = 0 p. p. en dehors de F .

Montrer que suppf est bien d´ efini.

Si f est continue, montrer que supp f co¨ıncide avec {x ; f (x) 6= 0}.

Si f , g sont comme dans a) ou b) ou c), alors supp f ∗ g ⊂ supp f + supp g.

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Exercice 5. (Densit´ e dans L ^p ) On travaille dans R ⁿ muni de la tribu de Lebesgue L n et de la mesure de Lebesgue λ _n .

a) Soient B ⊂ R ⁿ un bor´ elien tel que λ n (B) < ∞ et ε > 0. Montrer qu’il existe ζ ∈ D ( R ⁿ ) et un bor´ elien A tels que :

(i) |ζ − 1 _B | ≤ 1 _A ; (ii) λ _n (A) < ε.

[Indication : utiliser l’exercice 3 e) et le fait que la mesure de Lebesgue est r´ eguli` ere.]

b) Montrer que l’on peut remplacer

bor´ elien

par

Lebesgue mesurable

dans la question pr´ ec´ edente.

c) Soit 1 ≤ p < ∞. L’ensemble C _c ( R ⁿ ) des fonctions continues ` a support compact est dense dans L <sup>p</sup> ( R <sup>n</sup> ) (cons´ equence du th´ eor` eme de Lusin, voir [Rudin, Th´ eor´ eme 3.14 p. 84]).

Peut-on en dire autant si p = ∞ ?

d) Soient ρ _ε le noyau r´ egularisant de l’exercice 3 d), et f ∈ L ^p ( R ⁿ ) avec 1 ≤ p < ∞. Montrer que f ∗ ρ _ε → f dans L ^p , puis que f _ε := (1 _B(0,1/ε) f) ∗ ρ _ε ∈ D ( R ⁿ ) et tend vers f dans L ^p . e) Pour ε > 0, justifier qu’il existe ψ _ε ∈ D ( R ⁿ ) telle que :

(i) 0 ≤ ψ _ε ≤ 1 ;

(ii) ψ _ε (x) = 1 si |x| ≤ 1/ε ; (iii) ψ _ε (x) = 0 si |x| ≥ 2/ε.

Montrer que, pour 1 ≤ p < ∞ et f ∈ L ^p ( R ⁿ ), ψ _ε · (f ∗ ρ _ε ) → f dans L ^p quand ε → 0.

f) Montrer que, pour f ∈ L ^∞ ( R ⁿ ), on a ψ ε · (f ∗ ρ ε ) → f dans L ^∞ quand ε → 0 si et seulement si f = g p. p., avec g ∈ C( R ⁿ ) telle que lim

|x|→∞ g(x) = 0.

g) Soient f ∈ L ^p ( R ⁿ ) et g ∈ L ^q ( R ⁿ ) avec 1 ≤ p < ∞ et q l’exposant conjugu´ e de p. Montrer que f ∗ g co¨ıncide presque partout avec une fonction continue.

Exercice 6. (Partition de l’unit´ e) Soient K, U 1 , . . . , U l ⊂ R ⁿ , avec K compact, U j ouvert, ∀ j , et K ⊂ U ₁ ∪ . . . ∪ U _l . Montrer qu’il existe ψ _j ∈ D ( R ⁿ ), j = 1, . . . , l, telles que :

(i) 0 ≤ ψ _j ≤ 1 ; (ii) supp ψ _j ⊂ U _j ; (iii) X

ψ j (x) ≤ 1, avec ´ egalit´ e si x ∈ K .

Exercice 7. (Classe de Schwartz ) On note S ( R ⁿ ) l’ensemble des fonctions ϕ ∈ C ^∞ ( R ⁿ ) telles que :

p _αβ (ϕ) = sup

x∈ R

|x ^β ∂ ^α ϕ(x)| < ∞, ∀ (α, β) ∈ N ⁿ × N ⁿ , o` u x ^β := x ^β ₁

... x ^β _n

, ∂ ^α ϕ := ∂ _x ^α

1

..., ∂ _x ^α

ϕ.

a) Montrer que les p _αβ sont des semi-normes.

b) On munit S ( R ⁿ ) de la topologie induite par les semi-normes p _αβ . Montrer que S ( R ⁿ ) est s´ epar´ e et complet.

c) Montrer que S ( R ⁿ ) est m´ etrisable.

d) Montrer que D ( R ⁿ ) est dense dans S ( R ⁿ ).

e) Etablir l’inclusion : S ( R ⁿ ) ⊂ L ¹ ( R ⁿ ).

R´ evisions associ´ ees ` a cette feuille : Principe du maximum.

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Mesure de Lebesgue. Espaces L ^p , in´ egalit´ e de H¨ older, convolution.

Semi-normes. Espaces m´ etriques.

Ouvrages recommand´ es :

• Rudin, W. Analyse r´ eelle et complexe : Cours et exercices . 3e ´ edition (22 mai 2009), Dunod Collection : Sciences Sup, ISBN-10 : 2100534475, ISBN-13 : 978-2100534470

• H¨ ormander, L. The analysis of linear partial differential operators. I. Distribution theory and Fourier analysis. Reprint of the second (1990) edition. Classics in Mathematics. Springer- Verlag, Berlin, 2003. x+440 pp. ISBN : 3-540-00662-1. Pages 14–20.

• Zuily, C. et Queff´ elec, H. El´ ements d’analyse pour l’agr´ egation. Collection : Capes - Agreg.

Masson, 1996, 480 pp. ISBN-10 : 222584884X. ISBN-13 : 978-2225848841. Pages 311–325 et 467–474.

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