DS 4 - Pr´ eparation ` a l’´ ecrit d’Alg` ebre

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Ann´ ee universitaire 2019–2020

Master MEEF 1` ere ann´ ee

DS 4 - Pr´ eparation ` a l’´ ecrit d’Alg` ebre

Dur´ ee : 5 h le 09/01/2020 Documents non autoris´ es Calculatrices personnelles autoris´ ees

Ce devoir est constitu´ e de deux extraits de sujet propos´ es aux concours de recrutement de professeurs. Ils sont ´ evidement totalement ind´ ependant. Les ´ etudiants traiterons ces extraits sur des copies s´ epar´ ees (pouvant ˆ etre de mˆ eme couleur).

Extrait 1

On note N l’ensemble des entiers naturels, N 0 l’ensemble des entiers naturels non nuls et Z l’ensemble des entiers relatifs. Soient p et q deux entiers relatifs tels que p 6 q, on note J p, q K l’ensemble des entiers relatifs k tels que p 6 k 6 q.

Ce probl` eme a pour objet l’´ etude de deux m´ ethodes de chiffrement. A chaque lettre de l’alphabet est associ´ e un unique entier compris entre 0 et 25 de la fa¸con suivante : ` a la lettre A est associ´ e 0, ` a la lettre B est associ´ e 1, ..., ` a la lettre Z est associ´ e 25. Cet entier est appel´ e rang de la lettre.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Partie A - Un chiffrement monographique

L’objectif de cette partie est de d´ emontrer les th´ eor` emes de B´ ezout, puis de Gauss, et de mettre en œuvre ces th´ eor` emes dans le chiffrement propos´ e.

I. Soient a et b des entiers relatifs non nuls.

1. Montrer que s’il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors a et b sont premiers entre eux.

2. On veut ` a pr´ esent prouver que la r´ eciproque de cette propri´ et´ e est vraie. On suppose que a et b sont premiers entre eux et on consid` ere l’ensemble E des entiers relatifs de la forme au + bv o` u u et v sont des entiers relatifs.

a. Montrer que l’ensemble E ∩ N 0 admet un plus petit ´ el´ ement, que l’on notera n ₀ . b. D´ emontrer que le reste de la division euclidienne de a (respectivement b) par n ₀

vaut 0.

c. Conclure.

3. Enoncer le th´ eor` eme ainsi d´ emontr´ e.

II. A l’aide du th´ eor` eme pr´ ec´ edent, d´ emontrer que, pour tous les entiers relatifs non nuls a, b et c, si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

III. Chiffrement lettre ` a lettre.

1. Un exemple. Dans cette question, on d´ ecide de coder chaque lettre d’un mot par un nombre y d´ efini comme suit : si x est le rang de la lettre ` a coder, y est le reste de la division euclidienne de 58x par 369.

2. Coder le mot G A U S S.

3. Proposer une activit´ e de classe sur le tableur permettant, ` a partir du codage des 26 lettres de l’alphabet de d´ ecoder le mot de 6 lettres qui se cache derri` ere la suite de nombres :

290 232 248 327 0 364

(Dans cette question, le d´ ecodage effectif n’est pas demand´ e; il le sera plus tard.) 4. Principe g´ en´ eral du chiffrement lettre ` a lettre. On se donne un couple d’entiers

naturels (n, e) v´ erifiant les conditions suivantes :

• L’entier n est sup´ erieur ou ´ egal ` a 26.

• Les entiers n et e sont premiers entre eux.

Chaque lettre est alors cod´ ee de la fa¸con suivante : si x est le rang de la lettre ` a coder, y est le reste de la division euclidienne de e x par n.

a. D´ emontrer qu’il existe un entier naturel f tel que f e ≡ 1 (mod n).

b. D´ emontrer que la connaissance de f permet de retrouver x ` a partir de y. On dit que f est une cl´ e de d´ ecodage associ´ ee ` a la cl´ e de codage (n, e).

5. Un proc´ ed´ e de construction d’un cl´ e de codage et d’une cl´ e de d´ ecodage associ´ ee :

• On choisit quatre entiers naturels a, b, c et d sup´ erieurs ou ´ egaux ` a 3.

• On pose : M = ab − 1, e = cM + a, f = dM + b et n = ef − 1

M .

a. V´ erifier que (n, e) est une cl´ e de codage et que f est une cl´ e de d´ ecodage associ´ ee.

b. Calculer n, e et f lorsque a = 3, b = 4, c = 5 et d = 6.

c. Un mot de 6 lettres a ´ et´ e cod´ e ` a l’aide de la cl´ e d´ efinie ` a la question pr´ ec´ edente : 290 232 248 327 0 364

D´ ecoder ce mot

6. Ensemble des cl´ es de d´ ecodage associ´ ees ` a une cl´ e de codage donn´ ee. On revient au cas g´ en´ eral o` u n est un entier naturel sup´ erieur ou ´ egale ` a 26 et e un entier naturel premier avec n et on se propose de d´ eterminer l’ensemble des couples (u, v) d’entiers relatifs tels que nu + ev = 1.

L’algortihme d’Euclide, qui permet de d´ eterminer le PGCD de deux entiers naturels non nuls, assure l’existence d’un entier naturel N strictement sup´ erieur ` a 1 et de deux suites finies (r k ) k∈ J 0,N+1 K et (q k ) k∈ J 1,N K telles que :

• La suite (r _k ) k∈ J 0,N+1 K est strictement d´ ecroissante.

• r ₀ = n, r ₁ = e et r _N+1 = 0.

• ∀k ∈ J 1, N K , r k−1 = r _k q _k + r _k+1 . a. Que vaut r _N ?

b. D´ emontrer qu’il existe deux suites d’entiers relatifs (u _k ) k∈ J 0,N K et (v _k ) k∈ J 0,N K

v´ erifiant, pour tout k ∈ J 0, N K ,

r _k = nu _k + ev _k

c. En d´ eduire une cl´ e de d´ ecodage associ´ ee ` a la cl´ e de codage (n, e).

d. On met en œuvre cette m´ ethode ` a l’aide d’un tableur ` a partir de la cl´ e de codage (369, 58) :

Quelle formule a-t-on saisie dans le cellule C4 pour que, tir´ ee en bas ` a droite, elle permette de d´ eterminer les valeurs des termes des deux suites (u _k ) et (v _k )?

e. D´ eterminer un couple (u, v) d’entiers relatifs tels que 369u + 58v = 1 et une cl´ e de d´ ecodage associ´ ee ` a la cl´ e de codage (369, 58).

f. D´ eterminer l’ensemble des couples (u, v) d’entiers relatifs tels que 369u + 58v = 1 et l’ensemble des cl´ es de d´ ecodage associ´ ees ` a la cl´ e de codage (369, 58).

Partie B - Chiffrement de Hill

L’objectif de cette partie est de retrouver quelques r´ esultats sur les matrices carr´ ees d’ordre 2 ` a coefficients r´ eels, puis de les appliqur aux chiffrements de Hill.

La matrice nulle de M ₂ ( R ) est not´ ee O ₂ et la matrice unit´ e est not´ ee I ₂ . Pour tout entier naturel n non nul, si P et Q sont deux matrices carr´ ees de M ₂ ( Z ) de coefficients respectifs p _i,j et q _i,j , on dit qu’elles sont congrues modulo n et on note P ≡ Q (mod n) lorsque

∀(i, j ) ∈ J 1, 2 K , p _i,j ≡ q _i,j (mod n).

De mˆ eme, on dit que les vecteurs colonnes ` a coefficients dans Z X =

x y

et X ⁰ = x ⁰

y ⁰

sont congrus modulo n et on note X ≡ X ⁰ (mod n) lorsque x ≡ x ⁰ (mod n) et y ≡ y ⁰ (mod n). Dans toute cette partie, la matrice A est d´ efinie par

A =

a b

, o` u a, b, c et d d´ esignent quatre r´ eels.

I. Questions de cours.

1. Donner la d´ efinition d’une matrice inversible et d´ emontrer l’unicit´ e de son inverse.

2. Etablir que A ² − (a + d)A + (ad − bc)I ₂ = O ₂ .

3. D´ emontrer que la matrice A est inversible si et seulement si ad − bc 6= 0.

II. Dans cette question on suppose que a, b, c et d sont des entiers relatifs.

1. Donner un exemple de matrice inversible ` a coefficients dans Z , mais dont l’inverse n’a pas tous ses coefficients dans Z .

2. Enoncer une condition suffisante pour que la matrice A soit inversible et que sont inverse A ⁻¹ soit ` a coefficients dans Z .

3. Quelle notion math´ ematique (qui ne figure pas dans les programmes de lyc´ ee) permet de prouver que cette condition est n´ ecessaire? Proposer une d´ emonstration du r´ esultat.

III. La m´ ethode ´ etudi´ ee ci-apr` es utilise un chiffrement par blocs de 2 lettres pour coder un mot comportant un nombre pair de lettres :

• On choisit quatre entiers naturels non nuls a, b, c et d.

• On note x le rang de la premi` ere lettre du bloc et y le rang de la deuxi` eme lettre du bloc.

• On d´ efinit les entiers x ⁰ et y ⁰ de la mani` ere suivante :

(S)

( x ⁰ = ax + by y ⁰ = cx + dy

• Le rang de la premi` ere lettre du bloc cod´ e est le reste modulo 26 de x <sup>0</sup> , le rang de la deuxi` eme lettre du bloc cod´ e est le reste modulo 26 de y ⁰ .

Un tel chiffrement est dit digraphique.

1. Traduire le syst` eme (S) par une relation matricielle ` a l’aide de la matrice A qui est appel´ ee matrice de codage.

2. On donne : a = 4, b = 3, c = 5 et d = 4.

a. Coder le mot B E Z O U T.

b. En d´ etaillant les ´ etapes, d´ ecoder le mot S F X M O J.

3. On donne ` a pr´ esent a = 3, b = 2, c = 1 et d = 3. On souhaite d´ ecoder le mot A K X O U E V H D L

a. D´ emontrer qu’il existe un unique entier u compris entre 0 et 25 tel que 7u ≡ 1 (mod 26).

b. On note A la matrice de codage associ´ ee aux entiers a, b, c et d. D´ eterminer une matrice B, ` a coefficients entiers relatifs, telle que uBA ≡ I ₂ (mod 26).

c. D´ ecoder le mot en d´ etaillant la d´ emarche pour le premier bloc de deux lettres.

4. A quelle condition sur a, b, c et d peut-on d´ ecoder tout mot comportant un nombre

pair de lettres ?

Extrait 2

On note N l’ensemble des entiers naturels, N 0 l’ensemble des entiers naturels non nuls et Z l’ensemble des entiers relatifs. Soient p et q deux entiers relatifs tels que p 6 q, on note J p, q K l’ensemble des entiers relatifs k tels que p 6 k 6 q. On rappelle que, pour tout nombre r´ eel x, il existe un unique entier relatif E(x) tel que E(x) 6 x < E(x) + 1. Cet entier E(x) est appel´ e partie enti` ere de x.

Partie A - Ecriture d’un entier en base deux

Le but de cette partie des de d´ emontrer que tout entier naturel N sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 s’´ ecrit de mani` ere unique

N =

n−1

X

k=0

d _k 2 ^k avec n > 2 et

( ∀k ∈ J 0, n − 2 K , d _k ∈ {0, 1}, d n−1 = 1.

L’´ egalit´ e pr´ ec´ edente se note N = d _n−1 d _n−2 . . . d ₀ (´ ecriture de N en base deux); la suite finie (d _k ) _06k6n−1 s’appelle la suite des chiffres dans l’´ ecriture de N en base deux.

Dans toute cette partie, N d´ esigne un entier naturel sup´ erieur ou ´ egal ` a 2.

I. On suppose que N =

n−1

X

k=0

d k 2 ^k avec d k ∈ {0, 1} pour k ∈ J 0, n − 2 K et d n−1 = 1.

1. Montrer que 2 ⁿ⁻¹ 6 N 6 2 ⁿ − 1.

2. Montrer que d ₀ est le reste de la division euclidienne de N par 2.

3. D´ emontrer que la suite (d ₀ , . . . , d n−1 ) est d´ etermin´ ee de mani` ere unique.

II. On d´ efinit deux suites d’entiers (y _k ) k∈ N et (d _k ) k∈ N par y ₀ = N et pour tout entier naturel k, y _k+1 et d _k d´ esignent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de y _k par 2.

1. On fixe k ∈ N ^∗ . Exprimer N en fonction de k, d ₀ , . . . , d k−1 et y _k .

2. D´ emontrer que la suite (y _k ) k∈ N est nulle ` a partir d’un certain rang et qu’il existe un entier n > 1 tel que d n−1 d n−2 . . . d ₀ soit l’´ ecriture de N en base deux.

3. Ecrire un algorithme qui, pour tout entier naturel N sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 donn´ e, renvoie la suite (d 0 , d 1 , . . . , d n−1 ) des chiffres de son ´ ecriture en base deux.

4. Ecrire en base deux le nombre qui s’´ ecrit 391 en base dix.

III. On se propose ` a pr´ esent de calculer le nombre N qui s’´ ecrit d n−1 d n−2 . . . d ₀ en base deux.

1. Premi` ere m´ ethode : m´ ethode “na¨ıve”. On ´ ecrit N =

n−1

X

k=0

d _k 2 ^k . Combien d’op´ erations (additions et multiplications) doit-on effectuer ` a priori pour calculer N avec cette m´ ethode?

2. Deuxi` eme m´ ethode : m´ ethode de H¨ orner. On ´ ecrit

N = ((((d _n−1 × 2 + d _n−2 ) × 2 + d _n−3 ) × 2 + . . .) × 2 + d ₀ .

Combien d’op´ erations (additions et multiplications) doit-on effectuer a priori pour calculer N avec cette m´ ethode?

3. Ecrire un algorithme qui, pour toute suite de chiffres (d ₀ , . . . , d n−1 ) donn´ ee, renvoie la valeur de N calcul´ ee ` a l’aide de cette deuxi` eme m´ ethode.

4. Quel est le nombre dont l’´ ecriture en base deux est 101001000100001?

Partie B - Nombres dyadiques

L’ensemble D ₂ = n a

2 ^p ; a ∈ Z , p ∈ N o

est appel´ e ensemble des nombres dyadiques. On note D ⁺ ₂ l’ensemble des nombres dyadiques positifs ou nuls.

I. Montrer que Z est strictement inclus dans D ₂ et que D ₂ est strictement inclus dans Q . Indication: On pourra montrer que 1

3 6∈ D ₂ .

II. Soit x ∈ D ⁺ ₂ \ N . On se propose de d´ emontrer qu’il existe un unique entier n > 1 et une unique suite (a ₀ , a ₁ , . . . , a _n ) avec a ₀ ∈ N et (a ₁ , . . . , a _n ) ∈ {0, 1} ⁿ tels que

x =

n

X

k=0

a _k 2 ^−k , avec a _n 6= 0.

Le membre de droite de cette ´ egalit´ e s’appelle le d´ eveloppement dyadique de x.

1. On suppose qu’une telle suite existe. Montrer que a ₀ = E (x) puis montrer que la suite (a ₀ , a ₁ , . . . , a _n ) est d´ etermin´ ee de mani` ere unique.

2. On souhaite ` a pr´ esent montrer l’existence d’une telle suite. A l’aide de la partie pr´ ec´ edente, montrer l’existence d’un entier a <sub>0</sub> , d’un entier p > 1 et d’une suite de nombres entiers d <sub>0</sub> , . . . , d p−1 ´ egaux ` a 0 ou 1, non tous nuls, tels que

x = a ₀ +

p−1

X

k=0

d _k 2 ^k−p . 3. Conclure

III. Donner le d´ eveloppement dyadique de 35 4 .

Partie C - D´ eveloppement dyadique illimit´ e

On appelle suite dyadique toute suite (a _k ) _{k∈ N}

o` u pour tout k ∈ N 0 , a _k est un ´ el´ ement de {0, 1}. De plus :

• une suite dyadique (a _k ) k∈ N

est dite impropre s’il existe un entier m ∈ N 0 tel que pour tout k > m, a _k = 1;

• une suite dyadique (a _k ) _{k∈ N}

est dite propre si elle n’est pas impropre.

I. On suppose que a = (a k ) k∈ N

est une suite dyadique.

1. D´ emontrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral a _k 2 ^−k est convergente. On note sa somme

s(a) =

+∞

X

k=1

a _k 2 ^−k .

2. Soit N un entier naturel. Que vaut

+∞

X

k=N

2 ^−k ? 3. V´ erifier que s(a) ∈ [0, 1].

4. Montrer que si a est une suite dyadique propre, alors s(a) ∈ [0, 1[.

5. Montrer que si a est une suite dyadique impropre, alors s(a) est un nombre dyadique.

6. Soit a = (a _k ) k∈ N

la suite d´ efinie par

a _k =

( 0 si k est impair, 1 si k est pair.

Montrer que s(a) = 1 3 .

II. Soit x un nombre dyadique compris dans l’intervalle [0, 1[.

1. En utilisant les r´ esultats de la partie B, montrer qu’il existe une suite dyadique propre a telle que

x =

+∞

X

k=1

a _k 2 ^−k .

2. Montrer que si x est non nul, alors il existe ´ egalement une suite dyadique impropre b telle que

x =

+∞

X

k=1

b _k 2 ^−k .

III. Dans cette question, on cosid` ere un nombre r´ eel x appartenant ` a l’intervalle [0, 1[. On lui associe la suite α(x) = (α _k (x)) _{k∈ N}

d´ efinie pour tout k ∈ N 0 par l’´ egalit´ e

α _k (x) = E(2 ^k x) − 2E(2 ^k−1 x).

Pour tout n ∈ N 0 , on pose u _n (x) =

n

X

k=1

α _k (x)2 ^−k et v _n (x) = u _n (x) + 2 ⁻ⁿ . 1. D´ emontrer que la suite (α _k (x)) k∈ N

est dyadique.

2. D´ emontrer que les deux suites (u n (x)) n∈ N

et (v n (x)) n∈ N

sont adjacentes et prennent leurs valeurs dans D ₂ ∩ [0, 1].

3. V´ erifier que E(2 ⁿ x) = 2 ⁿ u _n (x) et en d´ eduire que pour tout entier naturel n > 1, u _n (x) 6 x < v _n (x).

4. Quelle est la limite commune des suites (u _n (x)) n∈ N

et (v _n (x)) n∈ N

? 5. Montrer que (α _k (x)) k∈ N

est une suite dyadique propre et que

x =

+∞

X

k=1

α _k (x)2 ^−k .

6. En d´ eduire que pour tout nombre r´ eel x dans l’intervalle [0, 1[, il existe une unique suite dyadique propre (a _k ) k∈ N

telle que

x =

+∞

X

k=1

a _k (x)2 ^−k .

On note alors

x = 0, a ₁ a ₂ a ₃ ...

Cette nouvelle repr´ esentation de x est appel´ ee la repr´ esentation dyadique propre de x. Si la suite (a _k ) k∈ N

est nulle ` a partir d’un certain rang, on dit que la repr´ esentation dyadique de x est finie.

7. Si d = (d _n ) _{n∈ N}

est une suite dyadique propre, on note x = s(d) et d ⁰ = (d _n+1 ) _{n∈ N}

. Justifier que d ₁ = E (2x) et s(d ⁰ ) = 2x − d ₁ .

En d´ eduire un algorithme qui prend en entr´ ees un nombre r´ eel x ∈ [0, 1[ et un entier

n ∈ N ⁰ et qui renvoie la liste des n premiers chiffres du d´ eveloppement dyadique propre

de x. On admettra l’existence d’une fonction floor qui renvoie la partie enti` ere de

son argument.