Pr´eparation ´ecrit analyse

Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2011-2012 Master 2 `eme ann´ee M´etiers de l’Enseignement en Math´ematiques

Pr´eparation ´ecrit analyse

S´eance 3 : Comparaison locale des fonctions.

Exercice 1. Calculer les limites suivantes : 1.lim

x→3

1

x²−5x+ 6 − 2 x²−4x+ 3

;

2. lim

x→+∞

p(x−2)(x+ 1)−p

(x−1)(x−2)

;

3.lim

x→2

√2x²+ 1−√

x²+x+ 3 x²−3x+ 2 ; 4. lim

x→+∞

sinh(cosh(x)) cosh(sinh(x)).

Exercice 2. Former le d´eveloppement limit´e, `a l’ordre et au voisinage indiqu´e, de la fonctionf d´efinie par :

1.f(x) = ln(e^2x+ 2e^x+ 3)au voisinage de0et `a l’ordre2.

2.f(x) =p 8 +√

1 + 6xau voisinage de0et `a l’ordre2. 3.f(x) = cosh(ln(cosh(x))au voisinage de0et `a l’ordre6.

4.f(x) = arctan 1 +x

1 + 2x au voisinage de0et `a l’ordre3.

5.f(x) = 1

sin²x − 1

sinh²x au voisinage de0et `a l’ordre2.

Exercice 3. Montrer 1.

2n

X

k=n+1

k! ∼

n→+∞(2n); 2.

n

X

k=0

2^k ∼

n→+∞2ⁿ⁺¹; 3.

n

X

k=1

√ k ∼

n→+∞

2 3n√

n.

Exercice 4. Calculer les limites suivantes : 1.lim

x→0

sinx x

¹

x2

;

2.lim

x→0(2^x+ 3^x−4^x)^1x ; 3. lim

x→+∞

√

x⁴+ 3x³−2√

x⁴+ 2x³+√

x⁴+x³ .

1

2

Exercice 5. On notef :]0,2[→R, la fonction d´efinie par f(x) = ln(x)

2−x. Calculerf^(k)(1)pourk∈ {0, ...,4}.

Exercice 6. On notef :R→R,x7→f(x) = ln(1 +x²)−x.

1.Montrer quef est bijective.

2.Former le d´eveloppement limit´e `a l’ordre4en0def⁻¹. Exercice 7. On note, pour toutn∈N,

In= Z ^π₄

0

tanⁿ(x)dx.

1.CalculerI_n+I_n+2 et en d´eduirelim_n→+∞I_n. 2.Montrer, `a l’aide d’une int´egration par parties :

∀n ∈N^∗, Z ^π₄

0

cos 2xtanⁿxdx= 1

2−nI_n. 3.En d´eduire un ´equivalent simple deI_nlorsquentend vers l’infini.

Exercice 8. On note, pour toutn∈N^∗ : I_n =

Z 1

0

x²ⁿ 1 +xⁿdx.

1.Trouverlimn→+∞In.

On consid`ere, pour toutn∈N^∗ : J_n =

Z 1

0

x²ⁿ⁻¹ 1 +xⁿdx.

2.Montrer∀n∈N^∗,|I_n−J_n|6 _2n(n+1)¹ . 3.CalculerJ_npour toutn ∈N^∗.

4.En d´eduire un ´equivalent simple deI_nlorsquentend vers l’infini.