Pr´eparation ´ecrit analyse S´eance 1 : D´eveloppements limit´es.

Universit´ e du Littoral Ann´ ee universitaire 2012-2013 Master 2 ` eme ann´ ee M´ etiers de l’Enseignement en Math´ ematiques

Pr´ eparation ´ ecrit analyse S´ eance 1 : D´ eveloppements limit´ es.

1. D´ eveloppements limit´ es usuels au voisinage de 0

e

^x

= 1 + x +

^x_2!²

+ ... +

^x_n!²

+ o(x

ⁿ

)

sin x = x −

^x_3!³

+

^x_5!⁵

+ ... + ( − 1)

^{p x}_(2p+1)!^2p+1

+ o(x

^2p+2

) cos x = 1 −

^x_2!²

+

^x_4!⁴

+ ... + ( − 1)

^{p x}_(2p)!^2p

+ o(x

^2p+1

) sinh x = x +

^x_3!³

+

^x_5!⁵

+ ... +

_(2p+1)!^x2p+1

+ o(x

^2p+2

) cosh x = 1 +

^x_2!²

+

^x_4!⁴

+ ... +

_(2p)!^x2p

+ o(x

^2p+1

)

(1 + x)

^a

= 1 + ax +

^a(a_2!⁻¹⁾

x

²

+ ... +

^{a(a−1)...(a}_n! ⁻ⁿ⁺¹⁾

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

) ∀ a ∈ R

1

1+x

= 1 − x + x

²

− ... + ( − 1)

ⁿ

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

)

√ 1 + x = 1 +

¹₂

x −

₂¹_·4

x

²

+

₂^1·3

·4·6

x

³

+ ... + ( − 1)

^{n−1 1·}₂^{3···(2n−3)}

·4···(2n)

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

)

√ 1 − x = 1 −

¹2

x −

2¹·4

x

²

−

2¹·4^·3·6

x

³

− ... −

^1·2³·^···4···⁽²ⁿ(2n)⁻³⁾

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

)

√1+x1

= 1 −

¹2

x +

¹₂^·_·³₄

x

³

+ ... + ( − 1)

^{n1·3···(2n}_{2·4···(2n)}⁻¹⁾

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

)

√11−x

= 1 +

¹₂

x +

^1·3_2·4

x

³

+ ... +

^{n1·3···(2n}_{2·4···(2n)}⁻¹⁾

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

) log(1 + x) = x −

^x₂²

+

^x₃³

+ ... + ( − 1)

^n−1x_nⁿ

+ o(x

ⁿ

)

arctan x = x −

^x₃³

+

^x₅⁵

+ ... + ( − 1)

^{n x}_2n+1²ⁿ⁺¹

+ o(x

²ⁿ⁺²

) argth x = x +

^x₃³

+

^x₅⁵

+ ... +

^x_2n+1²ⁿ⁺¹

+ o(x

²ⁿ⁺²

)

arcsin x = x +

_2·3¹

x

³

+

_2·4·5^1·3

x

⁵

+ ... +

2·4···(2n)·(2n+1)^{1·3···(2n−1)}

+ o(x

²ⁿ⁺²

) argsh x = x −

_2·3¹

x

³

+

_2·4·5^1·3

x

⁵

+ ... +

⁽⁻¹⁾ⁿ·1·3···(2n−1)

2·4···(2n)·(2n+1)

+ o(x

²ⁿ⁺²

) Exercice 1. Calculer le d´eveloppement limit´e de

1. x 7→ sin x ` a l’ordre 4 en

^π₄

, 2. x 7→ (arctan x)

²

` a l’ordre 8 en 0, 3. x 7→ cos(sin x) ` a l’ordre 5 en 0, 4. x 7→ tan x ` a l’ordre 5 en 0.

Exercice 2. Calculer les d´eveloppement limit´e de 1. (1 + x)

^x1

` a l’ordre 3 au voisinage de x = 0, 2. x

²

+ 1

x

²

− 2x + 1 ` a l’ordre n ∈ N au voisinage de x = 0, 3. ln x

x

²

, ` a l’ordre 4 au voisinage de x = 1.

Exercice 3. Calculer les limites suivantes : 1.

q x + p

x + √ x − √

x lorsque x → + ∞ , 2. a

^x

− b

^x

x lorsque x tend vers 0, 3. e

^1x

− cos

¹_x

1 − q

1 −

x¹ 2

,

Exercice 4. Pour chacune des fonctions suivantes, ´ecrire l’´equation de la tangente au point indiqu´e et trouver la position du graphe par rapport ` a celle-ci.

1. f

1

(x) = (sin x)

²

−

_1+x^x22

en x = 0, 2. f

2

(x) = sin x + arcsin x en x = 0, 3. f

3

(x) = √

3x − √

2 + x en x = 1.

1

2

Exercice 5. Donner le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 ` a l’ordre 4 des fonctions suivantes

f

1

(x) = 1 + p

1 + x

²

¹₂

, f

2

(x) = log sin x

x

, f

3

(x) = (1 + 2x)

^1+x1

,

f

4

(x) = 1

sin

²

x − 1

sinh

²

x , f

5

(x) = e

^sinhx

− log

tan x 2 + π

4

. Exercice 6. Calculer le d´eveloppement limit´e

1. ` a l’ordre 4, au voisinage de 1, de l’application x 7→ x

^{−1+log1 x}

2. ` a l’ordre 4, au voisinage de + ∞ , de l’application x 7→ (x

³

+ x)

¹³

− (x

³

− x)

¹³

3. ` a l’ordre 3, au voisinage de

^π₆

, de x 7→ log(2 sin x)

Exercice 7. Donner la limite, lorsque x tend vers 0

⁺

, des fonctions suivantes

f

1

(x) = e

^sinx

− e

^tanx

sin x − tan x , f

2

(x) = x

^xx

log x

x

^x

− 1 , f

3

(x) = (1 + x)

^logxx

− x x (x

^x

− 1) f

4

(x) = (cosx)

^cotx2

, f

5

(x) = arccos(1 − x)

√ x . Exercice 8. Soit (u

n

)

n∈N∗

la suite d´efinie par u

1

= 1 et u

n

= √ n + u

n−1

pour n > 2.

1. Montrer que u

n

est major´ee par 2 √ n.

2. Donner un ´equivalent de u

n

.

3. Calculer les deux premiers termes du d´eveloppement asymptotique de (u

n

) lorsque n tend vers + ∞ . Exercice 9. Etudier les branches infinies des fonctions suivantes et la position du graphe par rapport ` ´ a celles-ci.

f

1

(x) = 2x − 3 + log | 1 + x |

1 − x , f

2

(x) = p

³

x

³

+ x

²

+ 1,

f

3

(x) = xe

^x+x1

e

^x

− 1 , f

4

(x) = x

^1−loglogxx

.

Exercice 10. A l’aide de d´eveloppements asymptotiques pour ` x → + ∞ , pr´eciser la branche infinie de la courbe (C

i

) d’´equation y = f

i

(x) dans un rep`ere du plan.

f

1

(x) = x

⁷²

x + 1 sin 2

√ x , f

2

(x) = x p (x)

e

^1x

− cos 1 x

,

f

3

(x) = x Z

x

√x

√ dθ

θ

⁴

+ 1 , f

4

(x) = (x

²

+ 1)

^xlnx

x

^2xlnx−1

− x.

Exercice 11 (Extrait de l’´ecrit du CAPES 2010). Soit (a

n

)

_n∈N∗

la suite r´eelle d´efinie par : a

n

= 1

n − Z

n+1

n

dt t .

On ´etudie la s´erie de terme g´en´erale a

n

. On montre qu’elle est convergente et on donne une repr´esentation de sa somme, not´ee γ et appel´ee Constante d’Euler. Pour cela on ´etudie la suite (S

n

)

_n∈^N∗

d´efinie par :

S

n

=

n

X

p=1

a

p

=

n

X

p=1

1 p −

Z

n+1 1

dt t =

n

X

p=1

1

p − ln(n + 1).

On s’int´eresse ´egalement ` a la suite (H

n

)

n∈N

d´efinie par H

0

= 0 et pour tout entier n > 1, H

n

=

n

X

p=1

1 p . 1. Soit p ∈ N

∗

. En encadrant l’int´egrale R

p+1

p dt

t

, montrer que 0 6 a

p

6 1

p − 1 p + 1 .

2. En d´eduire que la suite (S

n

)

n∈N∗

est major´ee, puis qu’elle est convergente et que sa limite γ appartient

`

a l’intervalle [0, 1].

3

3. V´erifier que pour tout p ∈ N

^∗

on a :

a

p

= 1 p

Z

1 0

t t + p dt, puis montrer que pour tout entier p ≥ 2 on a :

1 2

1 p − 1

p + 1

6 a

p

6 1

2 1

p − 1 − 1 p

.

4. En d´eduire un encadrement de S

m

− S

n

pour m et n des entiers v´erifiant m > n > 1. Puis montrer que pour tout entier n > 1 on a :

1

2n + 2 6 γ − S

n

6 1 2n .

5. Conclure qu’on a le d´eveloppement asymptotique suivant pour la suite (H

n

)

n∈N∗

: H

n

=

n→∞

ln n + γ + 1

2n + o 1

n

.

6. Pour tout n ∈ N

^∗

on pose T

n

= S

n

+

_2n+2¹

. Montrer que 0 6 γ − T

n

6 1

2n(n + 1) .

7. D´eterminer un entier n ∈ N

^∗

pour lequel T

n

est une valeur approch´ee de γ ` a 10

⁻²

pr`es. Donner alors un encadrement de γ ` a 10

⁻²

pr`es.

Exercice 12 (Extrait de l’´ecrit de CAPES 2009). Pour tout entier n > 0, on pose W

n

=

Z

^π₂

0

cos

ⁿ

(x)dx.

1. Montrer que, pour tout n > 0, on a W

n

= R

^π₂

0

sin

ⁿ

(x)dx.

2. Montrer que la suite (W

n

)

n

est strictement d´ecroissante.

3. A l’aide d’une int´egration par parties montrer que, pour n > 0, on a W

n+2

=

n + 1 n + 2

W

n

. 4. En d´eduire que, pour tout entier p > 0, on a







W

2p

=

₂^(2p)!π2p(p!)² π 2

W

2p+1

=

²_(2p+1)!^2p(p!)2

5. Montrer que, pour tout n > 0, on a

W

n

W

n+1

= π 2(n + 1) 6. Prouver que, pour tout n > 0, on a

1 − 1

n + 2 < W

n+1

W

n

< 1, et en d´eduire W

n

∼

ⁿ

W

n+1

.

7. Montrer W

n

∼

ⁿ

p

π

2n

. En d´eduire lim

n→∞

W

n

. On consid`ere la suite (u

n

)

n

d´efinie, pour n > 1, par

u

n

= n!e

ⁿ

n

ⁿ

√

n et la suite auxiliaire (v

n

)

n

d´efinie, pour n > 2, par

v

n

= ln u

n

− ln u

n−1

.

8. Exprimer simplement v

n

en fonction de n et donner un d´eveloppement limit´e ` a l’ordre 2 en 1/n de la suite (v

n

)

n

.

9. En d´eduire que la s´erie P

v

n

est convergente. Montrer alors que les suites (ln u

n

)

n

et (u

n

)

n

convergent et donc qu’il existe un r´eel K > 0 tel que

n! ∼

ⁿ

K n

e

n

√

n.

10. En utilisant cet ´equivalent, calculer un ´equivalent simple de la suite (W

2p

)

p

. En d´eduire que K = √ 2π et, par suite, que

n! ∼

n

n e

n

√

2πn.