I. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la dérivée de la fonction puis déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d abscisse 4.

DEVOIR A LA MAISON N°1. TES2.

Pour le lundi 17 septembre 2018.

I. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la dérivée de la fonction puis déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d abscisse 4.

1. f définie sur par f (x ) ( x² 2)(x 4).

2. h définie sur par h (x ) 2 x 5 3

II. f est la fonction définie sur \{2} par f( x) 2x 1 x 2 . 1. Calculer f ( x).

2. En étudiant le signe de f ( x), construire le tableau de variations de la fonction f.

III. Voici le tableau de variation d une fonction f définie sur l intervalle [ 3 9] : x 3 1 5 9 variations d e f

3 − 1

− 5 − 3

1. Déterminer, en justifiant et en rédigeant comme dans les exercices faits en classe, le nombre de solutions dans l intervalle [ 3 9] de l équation f( x) 1.

2. Dans cette question, on suppose de plus que f ( 2) f (4) 0. Construire le tableau de signes de la fonction f.

IV. On a construit ci-dessous la courbe représentative d’une fonction définie sur [ 7 9] ainsi que les tangente à aux points et d’abscisses respectives et .

1. La fonction f est-elle continue sur [ 7 9] ? Pourquoi ? 2. Déterminer f (5) et f (0).

3. Comparer f (− 2) et f (3). Justifier.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°1. TES2

I.

1. f définie sur par f (x ) ( x² 2)(x 4).

On pose u (x ) x² 2 et v( x) x 4. Alors u ( x) 2 x et v (x ) 1.

Ainsi, f ( x) 2x (x 4) 1(x ² 2) 2 x² 8x x² 2 3x ² 8x 2.

Une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 4 est y f (4)(x 4) f(4).

f (4) 3 4² 8 4 2 82 et f (4) (4² 2)(4 4) 144.

Ainsi , la tangente à la courbe de f au point d abscisse 4 a pour équation y 82( x 4) 144, c'est-à- dire y 82 x 184.

2. h définie sur par h (x ) 2 x 5 3 h ( x) 2

3 .

Une équation de la tangente à la courbe de h au point d abscisse 4 est y h (4)( x 4) h (4).

h (4) 2

3 et h(4) 2 4 5

3 1.

Ainsi , la tangente à la courbe de f au point d abscisse 4 a pour équation y 2

3 ( x 4) 1, c'est-à-dire y 2

3 x 5 3 .

II. f est la fonction définie sur \{2} par f( x) 2x 1 x 2 .

1. On pose u (x) 2 x 1 et v (x) x 2. On a alors u (x) 2 et v (x ) 1.

Ainsi, f ( x) 2(x 2) 1(2x 1) (x 2) ²

5 (x 2) ² . 2. On peut construire le tableau suivant :

x 2 + signe de 5

signe de (x 2) ² signe de f ( x) variations de f

III.

1.

 Sur l intervalle [ 3 1], la fonction f est continue et strictement croissante ; f( 3) 5, f (1) 3 et 1 [ 5 3] donc l équation f (x ) 1 admet une unique solution dans l intervalle [ 3 1].

 De même, l équation f( x) 1 admet une unique solution dans l intervalle [1 5].

 Sur l intervalle [5 9], le maximum de f est 1 donc l équation f( x) 1 n admet pas de solution sur l intervalle [5 9].

Ainsi, l équation f (x ) 1 admet deux solutions dans l intervalle [ 3 9].

2.

IV.

1. La fonction f est continue sur [ 7 9] car on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.

x 3 2 1 4 5 9 variations d e f

3 − 1 0 0

− 5 − 3

signe de f(x )

2. f (5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point E.

On a donc f (5) 1 1 1.

f (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point C. Cette tangente est horizontale. On a donc f (0) 0.

3. f ( 2) 0 car la fonction f est décroissante sur [ 7 0] et f (3) 0 car f est croissante sur [0 9].

Alors f ( 2 ) f (3 ).