Pr´ eparation ` a l’Agr´ egation de Math´ ematiques Pr´ eparation ` a l’´ ecrit d’Analyse et Probabilit´ es Ann´ ee 2013-2014

Universit´ e Lyon 1

Pr´ eparation ` a l’Agr´ egation de Math´ ematiques Pr´ eparation ` a l’´ ecrit d’Analyse et Probabilit´ es Ann´ ee 2013-2014

Int´ egration num´ erique

Soient [a, b] un intervalle de R et f : [a, b] → R . Etant donn´ es :

(i) Une subdivision x = (x

)

, c’est-` a-dire x

, . . . , x

tels que a = x

< x

< · · · < x

<

x

= b ;

(ii) Des points interm´ ediares, c’est-` a-dire une collection y = (y

)

telle que y

∈ [x

, x

] pour tout i,

la somme de Riemann associ´ ee ` a f , x et y est σ(f ; x, y) :=

n

X

i=1

(x

− x

) f (y

).

Le pas h de la subdivision x se d´ efinit comme h := max

i∈J1,nK

(x

− x

).

1. Si f est continue, montrer que pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que h ≤ η ⇒

Z

a

f (t) dt − σ(f ; x, y)

≤ ε . 2. Si f est Lipschitzienne de constante L, montrer que

Z

a

f(t) dt − σ(f; x, y)

≤ L(b − a)h.

On suppose dans toute la suite que la subdivision est uniforme, c’est-` a-dire que h = (b −a)/n et x

= a + ih.

3. M´ ethode des rectangles. En prenant y

= x

, la somme de Riemann s’´ ecrit R

(f ) := b − a

n

n

X

i=1

f

a + i b − a n

,

ce qui d´ efinit la m´ ethode des rectangles ` a droite. Avec y

= x

, on obtient la somme de Riemann associ´ ee ` a la m´ ethode des rectangles ` a gauche :

R

(f ) := b − a n

n−1

X

i=0

f

a + i b − a n

. Si f est de classe C

, montrer que

Z

a

f(t) dt − R

(f)

≤ kf

k

(b − a)

2n .

[Indication : commencer par le cas n = 1, et appliquer la formule de Taylor–Lagrange ` a l’ordre 1 ` a une primitive de f.] Montrer que cette estimation de l’erreur est optimale, au sens o` u elle devient ´ egalit´ e pour certaines fonctions non constantes (que l’on explicitera).

4. M´ ethode du point milieu. En prenant y

:= a + (i − 1/2)h, la somme de Riemann s’´ ecrit T

(f ) := b − a

n

n

X

i=1

f

a +

i − 1 2

b − a n

.

1

Si f est de classe C

, montrer que

Z

a

f(t) dt − T

(f)

≤ kf

k

(b − a)

24n

.

[Indication : commencer par le cas n = 1, et appliquer la formule de Taylor–Lagrange ` a l’ordre 1 ` a f entre t et (a + b)/2.] Montrer que cette estimation de l’erreur est optimale, au sens o` u elle devient ´ egalit´ e pour les fonctions polynˆ omiales du second degr´ e.

5. M´ ethode des trap` ezes. On pose C

(f ) := R

(f) + R

(f )

2 = b − a

n

f (a) + f (b)

2 +

n−1

X

i=1

f

a + i b − a n

! . Si f est de classe C

, montrer que

Z

a

f(t) dt − C

(f )

≤ kf

k

(b − a)

12n

.

[Indication : commencer par le cas n = 1, et montrer que la fonction f e := f − g , o` u g est la fonction affine telle que g(a) = f(a), g(b) = f(b), v´ erifie | f(t)| ≤ kf e

k

(t − a)(b − t)/2.]

Montrer que cette estimation de l’erreur est optimale.

6. M´ ethode de Simpson. On pose S

(f) := C

(f ) + 2T

(f)

3 = b − a

6n

n−1

X

i=1

f(x

) + f(x

) + 4f

x

+ x

2

.

V´ erifier que cette m´ ethode provient de l’approximation de f par un polynˆ ome de degr´ e deux sur chaque segment [x

, x

], polynˆ ome co¨ıncidant avec f en x

, en x

, et en (x

+ x

)/2.

Si f est de classe C

, montrer que

Z

a

f(t) dt − S

(f )

≤ kf

k

90n

b − a 2

.

[Indication ; commencer par le cas n = 1, et appliquer la formule de Taylor avec reste int´ egral entre 0 et h/2 ` a la fonction t 7→ F (c + t) − F (c − t) − t(F

(c + t) + F

(c − t) + 4F

(c))/3, o` u c = (a + b)/2 et F est une primitive de f.] Montrer que cette estimation de l’erreur est optimale.

R´ evisions associ´ ees ` a cette feuille :

Calcul approch´ e d’int´ egrales. Formules de Taylor.

Ouvrage recommand´ e :

M. Schatzman. Analyse num´ erique, Dunod, 2011 (2

´ edition), chapitre Quadrature.

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