S´eance 1 Pr´esentation

(1)

S´ eance 1 Pr´ esentation

Pascal Laurent Math´ematiques 2

19 septembre 2007

(2)

Documents Contrˆole

Objectifs du cours

2 L’optimisation

Exemples ´el´ementaires

Les principes d’extr´emalit´e en physique

3 Système non linéaire et optimisation Un exemple d’équation

Analyse par optimisation

4 Calcul diff´erentiel D´efinition

Exemples simples

(3)

Organisation Documents Contrˆole

Objectifs du cours

2 L’optimisation

Exemples simples

(4)

Divisions du cours

Le cours est en trois parties : Optimisation (5 s´eances).

Analyse et simulation des équations aux dérivées partielles (9 séances).

Théorie des graphes et optimisation discrète (5 séances).

A noter

Séances supplémentaires de prérequis et compléments.

Jeudi 20/11 `a 11 h 30 puis voir le site.

Cours d’application “Pratique de la simulation num´erique”.

(5)

Divisions du cours

A noter

(6)

Divisions du cours

A noter

(7)

Divisions du cours

A noter

(8)

Divisions du cours

A noter

(9)

Organisation des s´eances Une s´eance =

Cours en Amphi + exercices en PC.

Cours et exercices en PC.

Voir la r´epartition dans l’emploi du temps.

Important

Il faudra s’inscrire en petites classes aujourd’hui.

(10)

Important

(11)

Important

(12)

Important

(13)

Scilab

Charger Scilab sur les PC.

Utilisation en PC.

Logiciels sur le site.

Comsol

Deux s´eances de PC en d´ecembre : TP sur Comsol.

Idem pendant le cours de M.M.C.

,→ Questions pos´ees au contrˆole.

(14)

Scilab

Utilisation en PC.

Comsol

(15)

Scilab

Utilisation en PC.

Comsol

(16)

Scilab

Utilisation en PC.

Comsol

(17)

Scilab

Utilisation en PC.

Comsol

(18)

Scilab

Utilisation en PC.

Comsol

(19)

Documents

Le polycopi´e “Optimisation” (avec exercices).

Le polycopié “Analyse des équations aux dérivées partielles” + exercices.

Le polycopi´e “Graphes et Optimisation discr`ete”.

Les corrigés des exercices, distribués après chaque séance

Outils logiciels

Au CTI : le logiciel “Comsol”.

Site du cours : outils en Scilab

(20)

Documents

Outils logiciels

(21)

Documents

Outils logiciels

(22)

Documents

Outils logiciels

(23)

Documents

Outils logiciels

(24)

Contrˆole

Deux contrˆoles facultatifs (“B.E.”), Coeff. 0,4 : 1h 30, sans document .

Un contrˆole ´ecrit, Coeff. 0,6 : une heure sans document, deux heures avec tous documents.

(25)

Contrˆole

Deux contrˆoles facultatifs (“B.E.”), Coeff. 0,4 : 1h 30, sans document .

Un contrˆole ´ecrit, Coeff. 0,6 : une heure sans document, deux heures avec tous documents.

(26)

Le cours “Optimisation” : méthodes d’optimisation mais aussi le calcul différentiel, la convexité et la dualité.

Le cours “Analyse 2” : bases mathématiques de l’analyse et de l’approximation des équations aux dérivées partielles.

Le cours “Graphes et optimisation discr`ete” : une introduction aux math´ematiques de la gestion.

Devise

Il est (peut ˆetre) trop tard pour apprendre des maths Il n’est pas trop tard pour apprendre `a s’en servir.

(27)

Devise

(28)

Devise

(29)

Devise

(30)

Objectifs du cours

2 L’optimisation

Exemples simples

(31)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Fig.: Approximation au sens des moindres carr´es sous contraintes.

(32)

T1

T2 T3 T4

Tobj

Fig.:Optimisation de la temp´erature sur le bord d’un moule.

(33)

Ressources 1

Produits 1

Produits 2

Produits 3 Ressources 2

Ressources 3

Ressources 4

Quantité x1 Quantité x1

Quantité x2

Quantité x3 b11 x1+ b12 x2 < Q1

b21 x1+ b22 x2+b23 x3 < Q2

b31 x1+ b33 x3 < Q3

b41 x1+ b42 x2+ b43 x3 < Q4

Fig.:Optimisation de la valeur d’une production.

(34)

A A

B B φφ11

φφ₂₂

φφnn−1φφnn 1 1

2 2

3 3

4 4

n− 1

n.

F F

L L L L

Fig.:Flambement d’une structure.

(35)

Les probl`emes de dynamique peuvent s’´ecrire sous forme

“lagrangienne”, Th´eor`eme (Lagrange)

La trajectoire q(t) d’un système est une extrémale de l’intégrale A(q) =

Z T

0

L(q,q⁰)dt o`u A(q) est l’action lagrangienne,et

L(q,v) =T(q,v)−W(q,v)

(36)

en l’absence de frottement et si le champ de force d´erive d’un potentiel

Th´eor`eme (Lagrange)

Z T

0

(37)

Les probl`emes de dynamique peuvent s’´ecrire sous forme

“lagrangienne”, Th´eor`eme (Lagrange)

Z T

0

(38)

Les probl`emes de statique peuvent s’´ecrire sous la forme d’un principe de minimum

Théorème (Principe du minimum de l’énergie)

La position u d’un syst`eme est un minimum de l’int´egrale J(u) =E(u)−W(u)

estl’´energie potentielle totale.

(39)

en l’absence de frottement et si le champ de force d´erive d’un potentiel

(40)

(41)

A A

B B φφ11

φφ₂₂

2 2

3 3

4 4

n− 1

n.

F F

L L L L

(42)

(x2,y2) (x1,y1) (x0,y0)

(x3,y3)

(xn,yn)

(xn+1,yn+1))

Fig.:Position d’´equilibre d’une chaˆıne.

(43)

Position de la chaîne après 531 itérations

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

−0.643

−0.572

−0.500

−0.429

−0.357

−0.286

−0.214

−0.143

−0.071 0.000

Fig.:Position d’´equilibre calcul´ee d’une chaˆıne.

(44)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Fig.:Position d’une structure avec contact.

(45)

f(x) =Ax+λx+x = 0 (1)

−u⁰⁰+λu+u³ = 0 (2)

u(0) =u(1) = 0 (3)

−∆u+λu+u³ = 0 sur Ω⊂R² (4)

u|_∂Ω = 0 (5)

Probl`eme

Pourquoi un syst` eme non lin´ eaire, un probl` eme

diff´ erentiel, un probl` eme aux d´ eriv´ ees partielles

(46)

Objectifs du cours

2 L’optimisation

Exemples simples

(47)

Soit le syst`eme non lin´eaire,

f(x) =Ax+λx+x³ = 0 (6)

x∈Rⁿ,

Aest une matrice sym´etrique d´efinie positive, de valeurs propres 0< λ₁ < ... < λ_n ,

λ∈Rune constante. Ce syst`eme admet une solution triviale x= 0.

Probl`eme

Combien ce syst` eme admet-il de solutions ?

(48)

A A

B B φφ11

φφ22

2 2

3 3

4 4

n− 1

n.

F F

L L L L

(49)

x∈R

f(x) =Ax+λx+x³ = (A+λ)x+x³= 0 (7) Cette ´equation de degr´e 3 admet la solution triviale x = 0.

Question

Combien cette ´equation a-t-elle de solutions ?

(50)

x∈R

F(x) = (A+λ)x² 2 +x⁴

4 on a

f(x) =F⁰(x)

Analyse par optimisation Si λ >−A

F(x) est strictement convexe

⇒un seul minimum pour F(x)

⇒une seule solution pour f(x) = 0.

(51)

x∈R

F(x) = (A+λ)x² 2 +x⁴

4 on a

f(x) =F⁰(x)

Analyse par optimisation Si λ <−A

0 est un maximum local de F(x)

⇒deux minimums

⇒3 solutions de f(x) = 0.

(52)

f(x) =Ax+λx+x³ = 0 (8) où Aest une matrice symétrique définie positive, de valeurs

propres 0< λ₁ < ... < λ_n ,λune constante.

Fonction potentielle Soit

F(x) = 1

2h(A+λId)x,xi+X

j

x_j⁴ 4 on a

f(x) =∇F(x)

(53)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 20

40 60 80 100 120 140 160 180 200

Un minimum

Min

:Dim 2. Equipotentielle de F(x).

(54)

Analyse

La matriceA+λId toutes ses valeurs propres positives et est donc d´efinie positive.

La fonctionF(x) tend vers l’infini `a l’infini, elle admet donc un minimum.

De plus le hessien deF(x) en 0 est HF(0) =A+λId Le point 0 est donc un minimum local deF(x)0 La fonctionF(x) strictement convexe.

⇒

(55)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 20

40 60 80 100 120 140 160 180 200

Un point col, deux minimums

Min

Col

(56)

Analyse

Le point 0 n’est plus un minimum mais un “col” car HF(0) =A+λId a alors une valeur propre n´egative.

La fonctionF(x) tend vers l’infini `a l’infini car le terme P

j x_j⁴

4 est dominant.

Il existe doncx₁ 6= 0 qui r´ealise le minimum de F(x), mais comme F(x) est pair (F(−x) =F(x)) le pointx2=−x₁ est aussi

minimum.

Ce qui fait donc 3 solutions 0,x₁,x₂ pour le syst`emef(x) = 0.

(57)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 20

40 60 80 100 120 140 160 180 200

Deux minimums, deux cols, un maximum

Max Col

Col

Min

(58)

Analyse

Le point 0 est alors un maximum local car le Hessien HF(0) =A+λId est alors d´efini n´egatif.

La fonctionF(x) tend vers l’infini `a l’infini car le terme P

j x_j⁴

4 est toujours dominant.

Ce qui fait trois solutions 0,x₁,x₂ pour le syst`eme (3).

Entre les deux minimum il existe un points colx3, qui ne peut ici ˆetre 0 car c’est un maximum local.

Par sym´etrie, il existe donc un autre points colx₄=−x₃, ce qui fait 5 solutions 0,x1,x2,x3,x4!

(59)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 20

40 60 80 100 120 140 160 180 200

Deux minimums, deux maximums, 4 cols

Max Col

Col

Min

Min Min

Min

(60)

Analyse

Le point 0 reste un maximum local,

on observe, sans le montrer, qu’il y quatre minimums et quatre points “col”, ce qui fait 9 solutions en tout pour le syst`eme.

La situation ne change pas pour des valeurs inf´erieures deλcar les abscisses et les ordonn´ees des solutions sont solutions d’une

équation algébrique de degré 9.

(61)

−u⁰⁰+λu+u³ = 0 (9)

u(0) =u(1) = 0 (10)

u(x)∈C²([0,1])), λ∈Rune constante.

Ce probl`eme admet la solution trivialeu = 0.

Probl`eme

Combien ce probl` eme diff´ erentiel admet-il de

solutions ?

(62)

−u⁰⁰+λu+u³ = 0 (9)

u(0) =u(1) = 0 (10)

u(x)∈C²([0,1])), λ∈Rune constante.

Ce probl`eme admet la solution trivialeu = 0.

u est un extr´emum de la fonction J(v) =

Z 1 v⁰² +λv²

+v⁴ dx

(63)

−∆u+λu+u³ = 0 sur Ω⊂R² (11)

u|_∂Ω = 0 (12)

u(x)∈C²([Ω])),

λ∈Rune constante. Ce probl`eme admet la solution trivialeu = 0.

Probl`eme

Combien ce probl` eme admet-il de solutions ?

(64)

−∆u+λu+u³ = 0 sur Ω⊂R² (11)

u|_∂Ω = 0 (12)

u(x)∈C²([Ω])),

λ∈Rune constante. Ce probl`eme admet la solution trivialeu = 0.

u est un extr´emum de la fonction J(v) =

Z

Ω

k∇vk²₂ 2 +λv²

2 + v⁴ 4 dx

(65)

Objectifs du cours

2 L’optimisation

Exemples simples

(66)

Espaces, points, fonctions

V,W, espaces vectoriels norm´es.

Ex. : Rⁿ,M_n(R), C([0,1]),C¹([0,1])...

x,y,u des ´el´ements de V ouW.

Ex. : x= (x₁, ...,x_n)^t, u :u(t) = sint.

f : application de V dans W.

Ex. : V =W =M_n(R), f(M) =M⁻¹. F : applications deV dansR.

Ex. : V =C¹([0,1]), F(u) =R1 0

p1 + (u⁰(t))²dt.

(67)

Définition (Différentielle au sens de Fréchet)

Une application f(x)de V dans W est différentiable en x ∈V si il existe une application linéaire continue de V dans W , notée Df(x) telle que

∀h ∈V f(x+h) =f(x) +Df(x).h+(h)khk aveclimh→0k(h)k= 0.

(68)

Exemple 1

SoitV =M_n(R) l’ensemble des matrices r´eelles de dimensionn et f(M) =M².

Il suffit de calculer

f(M+h) = (M+h)(M+h) =M²+ (Mh+hM) +h² et de ne retenir que les termes lin´eaires enh :

Df(M).h=Mh+hM

(69)

Exemple 2

Soitu ∈V =C([0,1]) et F(u) =

Z 1 0

u⁴ 4 dx Il vient, sih∈V

F(u+h) = Z 1

0

(u+h)⁴

4 dx =

Z 1 0

u⁴

4 +u³h+...dx où les termes suivants sont d’ordre supérieur ; d’où la différentielle

1

(70)

Définition (Différentielle au sens de Gâteaux)

Une fonction F(x) de V dansRest une fonction différentiable au sens de Gâteaux en x ∈V si il existe une forme linéaire sur V , notée DF(x), telle que

∀h ∈V d

dλF(x+λh)|_λ=0=DF(x).h (13) Théorème (Lien avec Fréchet)

Si F est différentiable au sens de Fréchet, F est différentiable au sens de Gâteaux.

(71)

Exemple 1 SoitV =Rⁿ

F(x) = 1

2hAx,xi+X

j

x_j⁴ 4

Df(x).h= d

dtf(x+th)|_t=0=hAx,hi+X

j

x_j³h_j Df(x).h=hAx,hi+hx³,hi=hAx+x³,hi

(72)

Exemple 2

SoitV =Rⁿ et f(x) =Ax+x³, o`u A est une matrice. Soit ∆(x) la matrice diagonale telle que ∆_i,i = 3x_i².

Df(x).h = d

dtf(x+th)|_t=0=Ah+ ∆(x)h

(73)

D´efinition (Gradient)

Soit V un espace de dimension finie muni d’un produit scalaire h·,·i. Il existe un vecteur, le gradient, not´e∇F(x), tel que

DF(x).h=h∇F(x),hi

SiV =Rⁿ et hx,yi=P

i xiyi on retrouve la d´efinition usuelle du gradient

∇F(x) = (∂F

∂x₁, ...,∂F

∂x_i, ..., ∂F

∂x_n)^t

le gradient d´efinit la direction de plus grande pente⊥`a la surface

(74)

D´efinition (Gradient)

Soit V un espace de dimension finie muni d’un produit scalaire h·,·i. Il existe un vecteur, le gradient, not´e∇F(x), tel que

DF(x).h=h∇F(x),hi

Exemples

Df(x).h =hAx+x³,hi

∇F(x) =Ax+x³

(75)

Si V =W =Rⁿ la différentielle Df(x) est une application linéaire représentée donc par une matrice Jf(x), appeléematrice

jacobienne, de coefficients

Jf(x)i,j = ∂fi(x)

∂x_j

Exemples

SoitV =Rⁿ et f(x) =Ax+x³, o`u A est une matrice.

Df(x).h =Ah+ ∆(x)h= (A+ ∆(x))h

(76)

f(x) =F⁰(x) =∇F(x) est une application diff´erentiable de Rⁿ dansRⁿ, la matrice jacobienne Jf(x) est sym´etrique .

D´efinition (Hessien)

Le Hessien de la fonction F(x), suppos´ee deux fois diff´erentiable, est la matriceHF(x) telle que

d²

dλ²F(x+λh)λ=0 =hHF(x)h,hi Ce qui implique

HF(x)i,j = ∂²F(x)

(77)

f(x) =F⁰(x) =∇F(x) est une application diff´erentiable de Rⁿ dansRⁿ, la matrice jacobienne Jf(x) est sym´etrique .

Exemples SoitV =Rⁿ

F(x) = 1

2hAx,xi+X

j

x_j⁴ 4

f(x) =∇F(x) =Ax+x³ Jf =A+ ∆(x) HF =A+ ∆(x)

(78)

Theorem

Si x ∈V est un minimum local de F(x)et (si V =Rⁿ) le Hessien HF(x) est semi-d´efini positif.

R´eciproquement :

Si DF(x) = 0 et si il existe une boule B_r(x) telle que le Hessien est semi-d´efini positif alors x est un minimum local. Si

∀h∈V F(x+h) =F(x) +h∇F(x),hi+1

2hHF(x)h,hi+(h)khk² o`u lim k(h)k= 0.

(79)

Pourquoi la notion de diff´erentielle ?

1 Intuitif.

2 Intrins`eque.

3 Extension `a la dimension infinie.

Equation et optimisation

1 Pourquoi un probl`eme admet-il une solution ?

2 Principe physique → optimisation.

3 Nous n’avons vu que le d´ebut de l’histoire...

(80)

1 Intuitif.

2 Intrins`eque.

(81)

1 Intuitif.

2 Intrins`eque.

(82)

1 Intuitif.

2 Intrins`eque.

(83)

1 Intuitif.

2 Intrins`eque.

(84)

1 Intuitif.

2 Intrins`eque.

(85)

1 Intuitif.

2 Intrins`eque.