Optimisation discr`ete, S´eance 2 : Exercices OPTIMISATION DANS UN RESEAU
Objectifs
Probl`eme du flot maximal. Affectation optimale dans un graphe biparti. Chemins de valeur extr´emale.
1 Flot maximum
Rappel de l’algorithme de Ford-Fulkerson
1. Faire passer un flot au jug´e.
2. Am´eliorer (it´erativement) le flot jusqu’`a obtenir un flot complet.
3. Entamer la proc´edure de marquage suivante : – Marquer a par +.
– Marquer+itoute extr´emit´ejd’un arc(ij)non satur´e dont l’origine est marqu´ee.
– Marquer−jtoute origineid’un arc(ij)non vide dont l’extr´emit´e est marqu´ee.
4. Si on arrive `a marquer b, le flot est am´eliorable d’apr`es le Lemme (ce qu’on fait et on recom- mence un marquage).
5. Sinon, il est maximum et les sommets marqu´es d´eterminent une partition donnant la coupe minimum.
Question 1
Montrer que cet algorithme est n´ecessairement fini, que l’arrˆet d´efinit une coupe, et que le flot ainsi d´etermin´e est maximum.
Exemple
Soit `a r´ealiser un r´eseau de distribution d’eau (avec des quantit´es mesur´ees en nombres entiers), `a partir de trois r´eservoirs (1,2,3), vers quatre villes (4,5,6,7).
Il s’agit de maximiser la somme des quantit´es achemin´ees, compte tenu des limitations de capacit´e : de stockage de chacun des r´eservoirs (arcs partant de l’entr´ee a), de stockage en chacune des villes (arcs incidents sur la sortie b), de chaque conduite d’acheminement existante.
1
(Math2-2005) Optimisation discr`ete : 2 2
Question 2
V´erifier (avec un trac´e du graphe ou sur une matrice) qu’un premier flot au jug´e (de valeurϕ= 70, avec, `a l’entr´ee :30,25,15, et, `a la sortie :20,10,20,20) est compatible avec les contraintes.
Question 3
Am´eliorer le flot jusqu’`a le rendre complet (ϕ= 80).
Question 4
Entamer une proc´edure de marquage et v´erifier qu’on peut atteindre la sortie b.
Question 5
Faire l’am´elioration de l’algorithme de Ford-Fulkerson (alorsϕ= 85) et caract´eriser la coupe qui en r´esulte.
(Math2-2005) Optimisation discr`ete : 2 3
2 Chemins extr´emaux
Soit `a r´ealiser un projet dont les ´etapes (successives ou concomittantes) sont repr´esent´ees par un graphe d’´etapes (valu´e par des dur´ees) dont le dictionnaire s’´ecrit1:
0 7→ 1 (2), 3 (6), 4 (4), 2 (4) 1 7→ 3 (3), 4 (5)
2 7→ 6 (7) 3 7→ 5 (6)
4 7→ 2 (2), 5 (4), 6 (3) 5 7→ 7 (2)
6 7→ 7 (3) 7 7→ 8 (4) Question 6
Dessiner le graphe de ce projet.
Quelle est la structure de donn´ees sugg´er´ee par le dictionnaire du graphe ?
Question 7
Calculer les dates au plus tˆot (par l’algorithme de Ford).
D´eterminer la dur´ee optimale du projet et calculer les dates au plus tard.
Question 8
Caract´eriser le chemin critique.
1Les valuations figurent entre parenth`eses.
