Optimisation discr`ete, s´eance 3 : exercices TH´ EORIE de la COMPLEXIT ´ E

ECP Math´ematiques 2 2^e Ann´ee 2004-2005

Optimisation discr`ete, s´eance 3 : exercices TH´ EORIE de la COMPLEXIT ´ E

OO OO OO OO

OO OO OO OO

OO

OO OO OO

OO OO OO

OO OO

OO OO

OO

P

P₁₁ neg P₁₁ PP₅₅ neg P₅₅

L L₁₁¹¹

L

L₂₂¹¹ LL₂₂²²

L

L₃₃¹¹ LL₁₁²² LL₃₃²² O

O

L L₂₂³³

L L₃₃³³ L

L₁₁³³

Figure 1: Graphe associ´e `a un probl`eme 3-SATsym

Question 1

On note k-COL le probl`eme consistant `a d´eterminer si les noeuds d’un graphe (G, A) peuvent ˆetre colori´es aveckcouleurs sans que deux noeuds adjacents aient la mˆeme couleur (rappel : on dit que l’indice chromatique estk).

•Comment peut-on repr´esenter un graphe `annoeuds ? Quelle est la taille des donn´ees dans ce codage.

• Montrer que le probl`eme du k coloriage d’un graphe (en abbr´eviation k-COL) est un probl`eme NP.

• Montrer directement, sans faire appel au th´eor`eme de Cook, que le probl`eme k-COL est polynˆomialement repr´esentable dans SAT, i.e. ´etant donn´e un graphe (G, A) on peut d´efinir un ensemble de variables propositionnelles et un ensemble de clauses compos´ees de ces vari- ables tels que (G, A) est kcoloriable si et seulement si les clauses sont satisfiables (et avec un codage des clauses ne prenant pas beaucoup plus de m´emoires que celui du graphe).

2 Math´ematiques 2 Question 2

Complexit´e de p-SAT

Soit un ensemble de n clauses `a p ´el´ements pris dans un ensemble de m variables proposi- tionnelles P_j

L¹_i ∨L²_i ∨...∨L^p_i, i= 1, ..., n

o`uL<sup>k</sup><sub>i</sub> =Pj ouL<sup>k</sup><sub>i</sub> =¬Pj . On note p-SAT le probl`eme consistant `a d´ecider si ces clauses sont satisfiables ou non, i.e. si il existe un ensemble de valeurs de v´erit´eP_j =V raiouP_j =F aux qui rende toutes les clauses vraies.

•Comment peut-on repr´esenter les donn´ees de ce probl`eme ? Quelle est la taille des donn´ees dans ce codage.

Nous allons montrer que le probl`eme 2-SAT a un algorithme de d´ecision polynˆomial. On construit un algorithme qui modifie `a chaque ´etape la liste E des clauses `a satisfaire. Soit E1 l’ensemble E o`u on a remplac´e les clauses P ∨P parP et dont on a retir´e les clauses de la formeP ∨ ¬P, qui sont toujours vraies.

Pour j=1,m

Si P_j et¬P_j sont toutes deux dans la liste E_j, l’ensemble des clauses ne peut ˆetre satisfait.

Sinon

Si j=m l’ensemble E est satisfiable.

Si j < majouter `a la listeE_j les clauses L_k∨L_l chaque fois que

les clausesPj∨L_k, k > j et¬Pj∨L_l, l > j sont dans la liste¹. Retirer de E_j les clauses de la formeP_k∨ ¬P_k et les clauses en double.

Remplacer les clauses de la formeP ∨P parP. On obtient ainsi l’ensemble de clauses ˜E_j.

Ej+1 est le sous ensemble des clauses de ˜Ej qui n’utilisent que les variables P_k, k > j Fin

• D´emonter que cet algorithme fonctionne correctement et qu’il est polynˆomial vis `a vis de la longueur des donn´ees.

• Montrer qu’une clause quelconque L¹ ∨L²∨...∨L^p, est satisfiable si et seulement si les p−3 clauses `a 3 ´el´ements

L¹∨L²∨Q3

¬Q3∨L³∨Q4

¬Q4∨L⁴∨Q5

...

¬Q^p−1∨L^p−1∨L^p

le sont.

En d´eduire que p-SAT est polynˆomialement ´equivalent `a 3-SAT et que donc 3-SAT est NP- Complet.

S´eance 3 3

Rappel

Soit un ensemble de n clauses `a 3 ´el´ements. On note 3-SATsym le probl`eme consistant `a d´ecider la propri´et´e Π : il existe un ensemble de valeurs de v´erit´eP_j =V rai ou P_j =F aux telles que dans toutes les clauses il y ait (au moins) un ´el´ement vrai et (au moins) un ´el´ement faux.

Nous avons vu en cours que 3-SAT est polynˆomialement ´equivalent `a 3-SATsym et donc Th´eor`eme 1 3-SATsym est NP-Complet.

Question 3

Complexit´e du coloriage d’un graphe

• D´ecrire un algorithme polynˆomial pour 2-COL.

Soit un ensemble denclauses `a 3 ´el´ements pris dans un ensemble demvariables proposition- nellesP<sub>j</sub>. On associe un graphe (1) `a ce probl`eme de la mani`ere suivante (les noeuds portent le mˆeme nom que les objets qu’ils repr´esentent) :

− On d´efinit un noeud pour chaque variable P_i et¬P_i et une arˆete entre les deux.

− On ajoute un noeud O reli´e `a chacun des noeudsP_i et¬P_i.

− On d´efinit trois noeudsL^k_i, k= 1,2,3 pour chaque clauseL¹_i ∨L²_i∨L³_i et trois arˆetes entre eux.

− On relie par une arˆeteL^k_i `a¬P_j (resp. P_j) siL^k_i est P_j (resp. ¬P_j).

On “colorie” ce graphe avec les “couleurs” bleu, rouge, vert qui correspondront (mais pas n´ecessairement dans cet ordre) `a : vrai, faux, indiff´erent.

• Montrer `a l’aide de cette repr´esentation que 3-SATsym est polynˆomialement ´equivalent `a 3-COL. En d´eduire que 3-COL (ainsi que k-COL) est NP-complet.

S.L

CENTRALE