Universit´ e Paris 7 U4MC35
PARTIEL du 29 Novembre 2011 Dur´ ee : 3 H
I. (3 pts)
Un ensemble r´efutable de clauses est dit minimal si toute partie propre 1 est satisfaisable.
Montrer que l’ensemble de clauses
Γ = {B ∧ A ⇒, ⇒ A ∨ C, ⇒ D ∨ B, A ∧ D ⇒ B, C ⇒ A}
est r´efutable minimal.
Dans ce qui suit, a et c sont des symboles de constantes, f , g des symboles de fonction binaires, h un symbole de fonction unaire, A et B des symboles de relation binaire, R et S sont des symboles de relation unaire.
II. (3 pts)
1. Unifier le syst`eme suivant :
{ (f f gv 4 v 1 f v 3 v 5 f gv 7 av 0 , f v 0 f gv 7 af v 11 v 12 ); (gv 6 v 8 , ggv 9 v 3 gv 9 v 10 ) } 2. Soit σ une substitution et t un terme et on suppose que σ(t) = t. Montrer que
si v a une ocurrence dans t, alors σ(v) = v.
III. ( 6 pts )
1. On consid`ere le langage L 1 = {f, h} et la L 1 -structure N = h N , ×, succi.
Donner la valeur des formules ψ i , i = 1, 2 dans N : – ψ 1 [v, w] = ∃x hx ' f vw
– ψ 2 [v, w] = ∃x ∀v (v ' hx = ⇒ f vw ' w)
2. On consid`ere le langage L 2 = {a, c, A, f, g} et les L 2 -structures M 1 = h N , 0, 2, ≤, +, ×i et M 2 = hP( N ), ∅, N , ⊆, ∩, ∪i. Trouver des L 2 -formules ϕ 1 [v] et ϕ 2 [v] telles que V al(ϕ i , M i ) = E i pour i = 1, 2, o` u :
– E 1 = { 3n + 1 ; n ∈ N } et – E 2 = { {n} | n ∈ N }.
3. On consid`ere le langage L 3 = {A} et les L 3 -structures suivantes : N 1 = h Z , ≡ 2 i N 2 = h Z , ≡ 3 i N 3 = h Z , ≤i
Trouver des L 3 -´enonc´es ϕ i , i = 1 , 2, tels que N i | = ϕ i et N i+1 | = ¬ϕ i . 4. On consid`ere le langage L 4 = {c, f, g} et le L 4 -´enonc´e
φ = ∀y∀z∃x (¬y ' c = ⇒ gf xyz ' c).
Trouver deux L 4 -structures N 1 satisfaisant φ et N 2 satisfaisant ¬φ.
1
A est une partie propre de B si A ⊂ B et A 6= B.
IV. ( 4 pts )
On dit qu’une formule est anti-pr´ enexe si elle ne contient aucune sous-formule qui est ´equivalente ` a une formule de type suivant :
(i) ∀x(G ∧ H), ∃x(G ∨ H), ∃x(G ⇒ H), (ii) Qx G, avec x n’est pas libre dans G 2 ,
(iii) ∀x(G ∨ H), ∃x(G ∧ H), ∀x(G ⇒ H), avec x n’est pas libre dans G ou x n’est pas libre dans H .
Pour chacune des formules suivantes F i , 1 ≤ i ≤ 4, donner une forme pr´enexe G i et une formule anti-pr´enexe H i ´equivalente ` a F i .
F 1 = ∀ x ( Rx = ⇒ ∃ y Sy) F 2 = ∀ x∃ y(∀ x Axy ⇒ ∃ t Bzx) F 3 = ∀ x ∃ y ( (Axy ⇐⇒ ¬∀ z Bxz) ∧ x ' v)
F 4 = ∀x∀y∃v∀z ((∃t(Atx ∧ Aty) ∧ ∃t(Aty ∧ Atz)) ⇒ ∃t(Aut ⇒ ∀u(Aux ∧ Auz))).
V. ( 4 pts )
Etant donn´e un ensemble E, un graphe sur E est une relation binaire G 3 sym´etrique et antir´eflexive 4 .
Si k est un entier naturel non nul et si G est un graphe sur E, on dit que G est k-coloriable si et seulement si il existe une application f de E dans {1, 2, . . . , k} telle que, pour tout (x, y) ∈ G, f(x) 6= f (y).
Soit P l’ensemble des variables propositionnelles {p x,i ; (x, i) ∈ E×{1, 2, . . . , k} }.
Trouver un ensemble F de formules propositionnelles sur P tels que : F est satisfaisable si et seulement si le graphe G est k-coloriable.
2
Q est un quantificateur.
3
G ⊂ E × E.
4
