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Qu’est-ce qui ne va pas avec l’argument suivant qui “montre” que l’algorithme de Prim fonctionne correctement sur un graphe G= (V, E) donn´e, pond´er´e parw:E −→R≥0

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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IFT 2121 Hiver 2006

Devoir pour le 7 avril 2006

1. Est-ce que la preuve suivante est bonne? Si oui, justifiez en d´etail chaque “ = “, sinon, dites lesquels des “=” ne sont pas bons. V´erifiez ´egalement la conclusion.

On montre que nlgn6∈Ω(n2). Pour cela, on regarde la limite de leur rapport : limn→∞

nlgn

n2 =limn→∞

lgn

n =limn→∞

1 n

1 = 0 Donc n2 > nlgnet on en d´eduit quenlgn6∈Ω(n2).

2. Qu’est-ce qui ne va pas avec l’argument suivant qui “montre” que l’algorithme de Prim fonctionne correctement sur un graphe G= (V, E) donn´e, pond´er´e parw:E −→R≥0.

On proc`ede par induction sur le nombrende sommets du graphe. Si n= 1, il n’y a rien a faire, l’algorithme ne choisit aucune arˆete et l’ACM ne contient que le sommet. Pour le pas, soit|V|=n+ 1. On enl`eve un sommet, disons u. L’algorithme trouve un ACM T0 de G−u = (V \ {u}, E\ {uv :v∈V \ {u}}), par l’hypoth`se d’induction. L’ajout d’une arˆete de poids minimimum parmi celle qui relientT0 `a uproduit un ACM T de G.

3. Ecrivez en d´etail l’algorithme de FEP (DFS) qui s’execute une fois sur un grapheG= (V, E) non- orient´e donn´e et donne en sortie les points d’articulations ainsi que les composantes 2-connexes de G.

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