E I N E V E R A L L G E M E I N E R U N G D E R G L E I C H U N G 7 7 . ~ A u s e i n e m B r i e f a n H e r r n G . M i t t a g - L e f f l e r V 0 N

EINE VERALLGEMEINERUNG DER GLEICHUNG

77.~

A u s e i n e m B r i e f a n H e r r n G . M i t t a g - L e f f l e r

V0N

H J A L M A R M E L L I N

IN HELSINGFORS.

Diejenige Eigenschaft der Gammafunction, welche durch die Gleichung ,'rz

F ( i + x) F ( l - - x) -- sin ,'rx

ausgedi'fickt wird, kann ofl'enbar auch so angegeben werden, dass

ist, wenn p~, p~ die zwei Wurzeln der Gleichung

bezeichnen. Dieser Satz ist nur ein Speeialfall des folgenden. Sind P~, P 2 , ' " , P ~ die v Wurzeln der Gleichung

pv _ I

so ist

I'(l --p,~)F(t --p, z)... F(x --p,z)

A e t a mathematica. ~. Imprlm6 28 Aotlt 1883.

Z u r T h e o r i e d e r G a m m a f u n c t i o n .

Diese G l e i c h u n g ist wieder ein Specialfall der folgenden

V ( z - - t g l , ~ ) r ( z - - p l z ) . . . V ( z - - / 9 , x ) n O ' I (Z + ?t) ]

=

WO p ~ , p ~ , . . . , p , die obige B e d e u t u n g haben.

Sie ergiebt sich a u f folgende Weise. Aus den G l e i c h u n g e n e --s

F @ ) = , ( C = o , 5 7 7 . . . )

x I + e n

folgt zun'~chst

p, + p , + . . . + p . = o /~(~)

F ( z - - p,~) l ' ( z - - p ~ z ) . . . F ( z - - p , ~ )

~)( +~ ~)( ~).,

) f | z z - - P ,

(z-- ptz)(z-- p2z)...(z-- p.z I + ~ b - - p i I ... I + - - p v e "

) l = l

103

Weil f e r n e r

z ~ i + z ~e "

n ]

(z - - p , z X z - p , z ) . . . (z - - p # ) = z" ~ x " ,

, + _ _

n P' t + ~ - - p , ..- I + n P"

-~- I + 7 t ~ = I + I (Z 4. n)v ,

so sieht m a n dass

I * ( z )

l ' ( z - p,~) l'(z - - p,~,~) 9 9 9 I'(z - - p,z)

~ )( z)~.,

+ ; ' + - -

(~ ~)~ ^{~ .}

z" 1 + ~ } e "

=

~( L))

1 0 4 H j a l m a r Mellia.

Bedenkt man, wie die Nullstellen der Function F(~) = ~'* I - - ~ ;

n = l

in der x-Ebene vertheilt sind, so sieht man leicht ein, dass dieselbe nicht periodisch sein kann, wie auch die ganze Zahl /~ gewahlt werden mag, wenn ~ > 2 ist. I s t / ~ = i, ~----2, so ist

i m v - - i , - : x

sin ~rz ^{e - - e} F(~) = - - =

~r 2rr/

Da i und - - i die Wurzeln der Gleichung

, r ~ ~ - _ _ l

sind, so fragt es sich, ob es, auch far den Fall ~ > 2, mSglich sei, die positive ganze ~Zahl l~ und die Constanten

At, A 2 , . . . , Av

so zu bestimmen, dass

F ( z ) : A , e ''=~ "4- A , e ~='~ + "." + A~e "~ ~'~

ware, wo

rl, r 2 , . . . , r,

die ~ Wurzeln der Gleichung

~ v ~ I

bedeuten. Die Coefficienten der bestandig convergirenden P0tenzrcihe, in die

F(x)

entwickelt werden kann, wOrden sicht leieht ergeben, wGnn diese Frage bejaht werden ksnnte. Es ist aber dies nicht der Fall. Dcnn man kann beweisen, dass der letzte Ausdruck nicht alle Nullstellen der Func- tion

F(x)

haben kann. Ist also ~ > 2, so ist

F(x)

nicht Gin Integral der DiffGrentialgleichung

y

d ~ ~