Universit´e de Versailles – Saint-Quentin-en-Yvelines. Master 1 Informatique 2019-2020 Algorithmique de Graphes – Coloration. Couplage. Planarit´e. Le TD du 27 Novembre 2019 Tatiana Babicheva. Link : https ://www.babichev.org/TD/
Exercice 1 Nombre chromatique et nombre d’arˆetes.
Montrer qu’un graphe simple non orient´eG`amarˆetes v´erifie
χ(G)≤ 1 2+
r 2m+1
4.
Exercice 2 Coloration effective
Donner un algorithme qui donne une coloration propre, mais pas n´ecessairement minimale, d’un graphe.
Quelle est sa complexit´e ?
Exercice 3 Graphesk-chromatiques sans triangle
Le but de cet exercice est de construire des graphes sans clique de taille 3 (sans triangle) de nombre chro- matique arbitrairement grand.
Etant donn´´ e un graphe non orient´e `a n≥1 sommetsG= ({u1, . . . , un}, E), on d´efinit le graphe `a 2n+ 1 sommets
G0= ({u1, . . . , un, u01, . . . , u0n, v}, E∪ {[u0i, uj]|[ui, uj]∈E} ∪ {[u0i, v]|1≤i≤n}). 1. SiGest sans triangle, montrer queG0 est sans triangle.
2. Montrer queχ(G0) =χ(G) + 1.Indication : utiliser l’exercice??.
3. En d´eduire que pour tout k≥1, il existe un graphe sans triangle v´erifiantχ(G) =k.
Exercice 4 Nombre chromatique de la somme cart´esienne de deux graphes.
Lasomme cart´esiennede deux graphes non orient´esG= (VG, EG) etH = (VH, EH) est le grapheGH = (V, E) d´efini par :
— V =VG×VH;
— [(u, x),(v, y)]∈E si et seulement siu=v et [x, y]∈EH, ou [u, v]∈EG etx=y.
1. Dessiner la somme cart´esienne de deux graphesGetH de votre choix.
2. On suppose queGet H sont deux graphes non vides. Montrer que
max(χ(G), χ(H))≤χ(GH)6χ(G)·χ(H).
3. Montrer que siGest une chaˆıne `a au moins deux sommets etH non vide, alors χ(GH) = max(2, χ(H)).
4. G´en´eraliser ce dernier r´esultat au cas o`uGest un graphe biparti quelconque.
5. Cas g´en´eral : montrer que siGetH sont deux graphes non vides,χ(GH) = max(χ(G), χ(H)).
1
