Optimisation discr`ete, S´eance 2 : Exercices corrig´es OPTIMISATION DANS UN RESEAU
1 Flot maximum
Algorithme de Ford-Fulkerson
Algo fini Car les capacit´es et le nombre de sommets sont finis.
L’arrˆet d´efinit une coupe Par construction.
Le flot est maximum D’apr`es le Lemme (flot maximum, coupe minimum).
Remarque. La coupe ainsi d´etermin´ee n’est pas forc´ement unique.
Exemple
1
2 Math´ematiques 2
1 2 3 4 5 6 7 dea
1 0 −∞ −∞ 10 15 −∞ 20 45
2 −∞ 0 −∞ 20 5 15 −∞ 25
3 −∞ −∞ 0 −∞ −∞ 10 10 30
4 – – −∞ 0 −∞ −∞ −∞
5 – – −∞ −∞ 0 −∞ −∞
6 −∞ – – −∞ −∞ 0 −∞
7 – −∞ – −∞ −∞ −∞ 0
versb 30 10 20 30 ϕ
Algorithme
Flot au jug´e On fait passer un premier flot (compatible).
1 2 3 4 5 6 7
1 0 −∞ −∞ 10 10 −∞ 10 30
2 −∞ 0 −∞ 10 0 15 −∞ 25
3 −∞ −∞ 0 −∞ −∞ 5 10 15
4 – – −∞ 0 −∞ −∞ −∞
5 – – −∞ −∞ 0 −∞ −∞
6 −∞ – – −∞ −∞ 0 −∞
7 – −∞ – −∞ −∞ −∞ 0
20 10 20 20 ϕ=70
Flot complet On augmente le flot (par incr´ementations successives) jusqu’`a ne pouvoir plus.
1 2 3 4 5 6 7
1 0 −∞ −∞ 10 10 −∞ 20 40
2 −∞ 0 −∞ 10 0 15 −∞ 25
3 −∞ −∞ 0 −∞ −∞ 5 10 15
4 – – −∞ 0 −∞ −∞ −∞
5 – – −∞ −∞ 0 −∞ −∞
6 −∞ – – −∞ −∞ 0 −∞
7 – −∞ – −∞ −∞ −∞ 0
20 10 20 30 ϕ=80
Marquage Proc´edure de marquage de Ford-Fulkerson.
S´eance 2 3
On arrive `a marquer b, par la chaˆıne :
A[+]−→3[+ 0]−→6[+ 3]←−2[−6] −→4[+ 2]−→B[+ 4] D’o`u l’am´elioration :
1 2 3 4 5 6 7
1 0 −∞ −∞ 10 10 −∞ 20 40
2 −∞ 0 −∞ 15 0 10 −∞ 25
3 −∞ −∞ 0 −∞ −∞ 10 10 20
4 – – −∞ 0 −∞ −∞ −∞
5 – – −∞ −∞ 0 −∞ −∞
6 −∞ – – −∞ −∞ 0 −∞
7 – −∞ – −∞ −∞ −∞ 0
25 10 20 30 ϕ=85
On reprend la proc´edure de marquage :
A[+]−→1[+ 0]−→5[+ 1]
4 Math´ematiques 2
On ne peut plus marquer b : le flot est donc maximum (ϕ= 85).
2 Chemin extr´emal
1. Dates au plus tˆot :
0(0), 1(2), 2(9), 3(6), 4(7), 5(12), 6(16), 7(19), 8(23) 2. Dates au plus tard :
0(0), 1(2), 2(9), 3(11), 4(7), 5(17), 6(16), 7(19), 8(23) 3. Chemin critique :
0−→1−→4−→2−→6−→7−→8
