S´eance 1 : Exercices corrig´es CALCUL DIFF´ ERENTIEL

S´eance 1 : Exercices corrig´es CALCUL DIFF´ ERENTIEL

Objectifs

Les notions de diff´erentielle, gradient... d’une fonction en dimension finie et infinie.

Exercices d’illustration et calcul des diff´erentielles. Quelques applications.

Notations

On note V un espace vectoriel norm´e, x un point de V, F une fonction de V dans R.

< x, y >=P

ixiyi est le produit scalaire canonique deRⁿ. Question 1

Fonction quadratique

Soit V =Rⁿ,A une matrice sym´etrique d´efinie positive de dimensionn,b∈Rⁿ.

• SoitF(x) = ¹₂hAx, xi − hb, xi, montrer que

DF(x).h=hAx−b, hi et, pour le produit scalaire canonique

∇F(x) =Ax−b

Le plus simple est de calculer directement l’expression

∀h∈V DF(x).h= d

dtF(x+th)|t=0

On d´eveloppe en t et on garde le coefficient d’ordre 1 en t, soit ¹₂(hAx, hi+iAh, xi)− hb, hi et, compte tenu de la sym´etrie deA,hAx, hi − hb, hi, d’o`u

DF(x).h=hAx−b, hi

• Les points pour lesquels DF(x) = 0 sont donc solution de Ax = b. Si la matrice A

est sym´etrique d´efinie positive¹l’extr´emum est unique et c’est un minimum. Int´erˆet pour la r´esolution des syst`emes lin´eaires ?

La r´esolution d’un syst`eme lin´eaire `a matrice sym´etrique d´efinie positive Ax=b

est donc ´equivalente `a la recherche de la solution du probl`eme d’optimisation

x∈minRⁿ

1

2hAx, xi − hb, xi

Nous ´etudierons dans la s´eance 3 des m´ethodes d’optimisation bien adapt´ees `a ce probl`eme.

Question 2

Une fonction non quadratique en dimension finie

Soit V =Rⁿ,A une matrice sym´etrique d´efinie positive de dimensionn,b∈Rⁿ.

• Soit

F(x) = 1

2 <Ax, x >+1

4kxk⁴4−< b, x >

Calculer DF(x) et ∇F(x).

Le plus simple est de calculer directement, terme `a terme, l’expression

∀h∈V DF(x).h= d

dtF(x+th)|t=0

− Pour _dt^d1₂ <A(x+th), x+th >|t=0, on d´eveloppe entet on garde le coefficient d’ordre 1 en t, soit ¹₂(<Ax, h >+<Ah, x >) et, compte tenu de la sym´etrie de A,<Ax, h >

− pour _dλ^d P

i 1

4|xi+th⁴_i|t=0, en d´erivant la fonction compos´ee ¹₄(xi+th_i)⁴, on obtient x³_ih_i. Finalement

∀h∈V DF(x).h=<Ax, h >+< x³, h >−< b, h >

o`u x³ est le vecteur de composantes (x³)i=x³_i. On en d´eduit

∇F(x) =Ax+x³−b Quels sont les points pour lesquels DF(x) = 0 ?

Les extr´emums sont donc solutions du syst`eme non lin´eaire Ax+x³ =b

• CalculerHF(x).

On a

<HF(x)h, h >= d²

dλ²F(x+λh) =<Ah, h >+X

i

3x²_ih²_i

1i.e. ∀x6= 0 hAx, xi i0

Soit Dla matrice diagonale avec di,i= 3x²_i, il vient

<HF(x)h, h >=<(A+D)h, h >

Quelle est la nature des extr´emums ?

La matrice A+D est sym´etrique d´efinie positive comme chacune des deux matrices A et D. Les extr´emums sont donc des minimums. Nous montrerons dans la s´eance suivante, en utilisant la convexit´e de la fonction, qu’il y a un seul extr´emum et que c’est un minimum.

Question 3

Une fonction quadratique en dimension infinie Soit V =C¹([0,1], u∈V etf ∈C([0,1])

J(v) = Z 1

0

1

2v⁰(x)²+1

2v(x)²−f(x)v(x)dx

• Calculer la diff´erentielle au sens de Gateaux deJ(v).

DJ(v).h= d

dtJ(v+th)|t= 0

on peut d´evelopper l’expression de la fonction par rapport `atou calculer en d´erivant sous le signe somme ; il ne reste plus qu’`a d´eriver des fonctions d’une variable r´eelle, il vient

DJ(v).h= Z 1

0

v⁰h⁰+vh−f hdx

•On munit V du produit scalaire et de la norme deL²([0,1]),J(v) est-elle diff´erentiable au sens de Fr´echet ?

Non, la forme lin´eaire R1

0 v⁰h⁰dxsur V muni de la norme de L²([0,1]) n’est pas continue (on peut faire “exploser”h⁰ tout en faisant tendre khk2 vers 0).

• Soit V0 le sous-espace deC²([0,1])∩V form´e des fonctions nulles en 0 et 1. On consid`ere J(v) comme une fonction sur V0. Montrer que, pour le produit scalaire deL²([0,1]),

∇J(v) =−v” +v−f On int`egre par partie R1

0 v⁰h⁰dx Z 1

0

v⁰h⁰dx= Z 1

0

−v⁰⁰h dx+v⁰(1)h(1)−v⁰(0)h(0) or le crochet et nul car h(0) =h(1) = 0 d’o`u

DJ(v).h= Z 1

0

(−v⁰⁰+v−f)h dx=h−v⁰⁰+v−f, hi

le produit scalaire ´etant celui de L²([0,1]), d’o`u le r´esultat (mˆeme si ce n’est pas l’usage d’utiliser la notation gradient dans ce contexte). Noter que −v⁰⁰+v−f n’est pas dansV0.

Peut-on d´efinir de mˆeme ∇J(v) surV pour le produit scalaire de L²([0,1]) ? On fait la mˆeme transformation, il vient

DJ(v).h= Z 1

0

(−v⁰⁰+v−f)hdx+v⁰(1)h(1)−v⁰(0)h(0) =h−v⁰⁰+v−f, hi+v⁰(1)h(1)−v⁰(0)h(0) la diff´erentielle ne s’exprime pas ici comme le produit scalaire de deux fonctions deL²([0,1]).

Nous n’irons pas plus loin dans l’analyse de cette difficult´e (V n’est pas complet pour la norme de L²([0,1]), la diff´erentielle n’est pas continue), on en retiendra que la notion de gradient en dimension infinie n’est `a manipuler que de fa¸con heuristique, ce n’est que dans la cadre des espaces de Hilbert qu’elle prend un sens.

Quels sont les extr´emums de J(v) sur V0 ? (Nous verrons ult´erieurement, en utilisant la convexit´e de la fonction J(v) qu’il n’y a qu’un extr´emum et que c’est un minimum).

En un extr´emum

∀h∈V0, DJ(v).h= Z 1

0

(−v⁰⁰+v−f)h dx= 0 Nous admettrons que si g∈C([0,1])

∀h∈V0, Z 1

0

gh dx= 0 ⇒ g= 0

(Si on ne veut pas l’admettre : si g(x0) 6= 0, alors g(x) ne change pas de signe sur un petit intervalle [x0 −², x0 +²], on obtient une contradiction en prenant h(x) d´efinie par h(x) = (x−(x0−²))³((x0+²)−x)³ sur cet intervalle et 0 ailleurs, ce qui est bien dansV0.) d’o`u

−v⁰⁰+v=f Question 4

G´en´eralisation : le “calcul des variations”

Voir le cours.

Soit V0 l’espace des fonctions de C¹([0,1]) telle que v(0) = v(1) = 0 et g(t, x, y) ∈ C¹(R³).

On d´efinit sur V0 la fonction

J(u) = Z L

0

g(x, u(x), u⁰(x))dx (1)

• CalculerDJ(u).

DJ(u).v= d

dtJ(u+tv)|t= 0 = d dt(

Z L

0

g(x, u+tv, u⁰+tv⁰)dx)|t=0

On d´erive sous le signe somme DJ(u).v =

Z L

0

∂g(x, u, u⁰)

∂u v+∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ v⁰dx

• En ajoutant des hypoth`eses de r´egularit´e, calculer ∇J(u) pour le produit scalaire de L²([0,1]).

Siu, g∈C²([0,1]), il vient en int´egrant par partie le termev⁰ et en tenant compte de ce que le crochet est nul

DJ(u).v = Z L

0

(∂g(x, u, u⁰)

∂u − d

dx

∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ )v(x)dx=<− d dx

∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ +∂g(x, u, u⁰)

∂u , v >

D’o`u le r´esultat avec les pr´ecautions d’usage sur la notion de gradient.

En d´eduire qu’un extr´emum de la fonctionJ(v) v´erifie l’´equation d’Euler

− d dx(∂g

∂u⁰) +∂g

∂u = 0 (2)

On ´ecrit que la diff´erentielle est nulle. D’o`u

∀v∈V0, <− d dx

∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ +∂g(x, u, u⁰)

∂u , v >= 0 ce qui implique, comme nous l’avons montr´e `a la question pr´ec´edente

− d dx

∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ +∂g(x, u, u⁰)

∂u = 0

• Applications :

J(v) = Z 1

0

1

2v⁰(x)²+1

4v(x)⁴−f(x)v(x)dx on a

(∂g

∂u⁰) =u⁰ (3)

et

(∂g

∂u) =u−f (4)

d’o`u

− d dx(∂g

∂u⁰) + ∂g

∂u =−u⁰⁰+u−f (5)

et donc, siu est un minimum deJ(v) surV0

−u⁰⁰+u=f (6)

u(0) =u(1) = 0 (7)

Nous verrons dans la s´eance suivante pourquoi ce minimum est unique.