Topologie et calcul diff´ erentiel

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009

U.F.R. M.I.T.S.I.C. Seconde session

Universit´e de Paris 8 Examen - jeudi 18 juin 2009

Topologie et calcul diff´ erentiel

- Carte d’´etudiant obligatoire -

hormis une feuille A4 manuscrite, AUCUN document n’est autoris´e

Interdits : walkman, calculatrice, t´el´ephone, organizer, communication, sacs sur la table.

N’oubliez pas nom, pr´enom et num´ero sur chaque copie - Dur´ee : 2 heures.

Correction 1 1. (a) Si ||(x, y)|| = 0 alors max(|x+y|,|x−2y|) = 0 donc x+y = 0 et x−2y= 0 donc x= 0 ety = 0. R´eciproquementk(0,0)k= 0.

(b) ||λ.(x, y)||=||(λx, λy)||= max(|λx+λy|,|λx−2λy|) =|λ|max(|x+y|,|x−2y|) =

|λ|.||(x, y)||.

(c) k(x, y) + (x⁰, y⁰)k=k(x+x⁰, y+y⁰)k= max(|x+x⁰+y+y⁰|,|x+x⁰−2y−2y⁰|)6 max(|x+y|+|x⁰ +y⁰|,|x−2y|+|x⁰ −2y⁰|) 6 max(|x+y|,|x−2y|) + max(|x⁰ + y⁰|,|x⁰−2y⁰|)6||(x, y)||+||(x⁰, y⁰)||.

La boule unit´e ferm´ee centr´ee `a l’origine est la r´egion du plan comprise entre les droites d’´equationsx+y= +1, x+y =−1, x−2y= +1, x−2y=−1.

2. Sens⇐: Six∈B_q alorsq(x)61 doncp(x)61 doncx∈B_p. Sens ⇒: Soit x∈Rⁿ\ {0}

alors q(_q(x)^x ) = 1 donc _q(x)^x ∈ Bq donc _q(x)^x ∈ Bp donc p(_q(x)^x ) 6 1 soir p(x) 6 q(x). Ceci

´etant aussi valable pour x= 0.

B_q ⊂2B_p est ´equivalent `ap(x)62q(x) pour tout x∈R<sup>n</sup> (attention au sens !). Et <sup>1</sup><sub>2</sub>B<sub>p</sub> ⊂ B<sub>q</sub> est ´equivalent `a ¹₂q(x)6p(x). Si les deux inclusions sont vraies alors ¹₂p 6q 62p et en particulier les normes p etq sont ´equivalentes.

Par exemple dans R² pour les normesk.k1, k.k2,k.k∞ On a B₁ ⊂B₂ ⊂B∞⊂2B₁ ⊂2B₂ ⊂ · · ·

Correction 2 y⁰⁰−3y⁰+ 2y=e^x. Le polynˆome caract´eristique estf(r) = (r−1)(r−2) et les solutions de l’´equation homog`ene sont donc toutes les fonctions :

y(x) =c₁e^x+c₂e^2x avecc₁, c₂ ∈R.

On cherche une solution particuli`ere de la forme y_p(x) = P(x)e^x, on est dans la situation (ıı) la condition (∗) sur P est : P⁰⁰−P⁰ = 1, et P(x) = −x convient. Les solutions de l’´equation sont donc les fonctions :

y(x) = (c₁−x)e^x+c₂e^2x avec c₁, c₂ ∈R.

Correction 3 y⁰⁰−y =−6 cosx+ 2xsinx. Ici f(r) = (r−1)(r+ 1) et l’´equation homog`ene a pour solutions :

y(x) = c₁e^x+c₂e^−x avec c₁, c₂ ∈R.

On remarque que la fonction 3 cosx v´erifie l’´equation : y⁰⁰−y = −6 cosx, il nous reste donc

`

a chercher une solution y1 de l’´equation y⁰⁰ −y = 2xsinx, car yp(x) = 3 cosx +y1(x) sera 1

une solution de l’´equation consid´r´ee. Pour cela, on remarque que 2xsinx = Im(2xe^ix) et on utilise la m´ethode d´ecrite plus haut pour trouver une solutionz₁ de l’´equation : y⁰⁰−y= 2xe^ix. On cherche z₁ sous la forme P(x)e^ix o`u P est un polynˆome de degr´e 1 car f(i) = −2 6= 0.

On a f⁰(i) = 2i, la condition (∗) sur P est donc : 2iP⁰(x)−2P(x) = 2x ce qui donne apr`es identification P(x) = −x−i. Alors y₁(x) = Im((−x+i)e^ix) = −xsinx−cosx. Les solutions sont par cons´equent les fonctions :

y(x) = c₁e^x+c₂e^−x+ 2 cosx−xsinx avecc₁, c₂ ∈R.

Autre m´ethode pour trouver une solution de y⁰⁰ −y = 2xsinx : On la cherche de la forme y₁(x) = A(x) sinx+B(x) cosx o`u A, B sont des polynˆomes de degr´e 1 car i n’est pas racine de l’´equation caract´eristique (danger : pour un second membre du type Q(x) sin(βx)e^αx la discussion porte sur α+iβ et non sur α ou β...). On calcule y₁⁰, y⁰⁰₁ et on applique l’´equation

´

etudi´ee `a y₁ . . . on obtient la condition :

(A⁰⁰−A−2B⁰) sinx+ (B⁰⁰−B−2A⁰) = 2xsinx qui sera r´ealis´ee si :

A⁰⁰−A−2B⁰ = 2x

B⁰⁰−B−2A⁰ = 0 .

On ´ecrit : A(x) = ax +b et B(x) = cx+d, apr`es identification on obtient : a = d = −1, b=c= 0, ce qui d´etermine y₁.

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