Calcul Diff´erentiel et Analyse Num´erique (L3)

Calcul Diff´erentiel et Analyse Num´erique (L3) Examen du 4 mai 2018, dur´ee : 3 heures¹ Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints

Les notes de cours et d’autres documents ne sont pas autoris´es Une r´edaction courte et propre est demand´ee pour une note maximale

Premi`ere partie

Questions. (5 points)Pour les questions 1–5, donner la r´eponse (vraioufaux) sans aucune justification. Chaque bonne r´eponse donnera 1 point.

1. Soitf:Rⁿ!R^m une fonction continˆument di↵´erentiable. Alors il existe C >0 tel que, pour tousx, y2Rⁿ,

kf(x) f(y)kR^mCkx ykRⁿ. 2. Soitf:Rⁿ!Rune fonction de classeC² telle que

f(0) = 0, Df(0) = 0, D²f(0) = 0.

Alors pour tout">0 il existe >0 tel que|f(x)|"kxk²pourkxk  . 3. Soitf :Rⁿ!Rⁿune fonction continˆument di↵´erentiable. Supposons qu’il existe a2 Rⁿ tel que la di↵´erentielleDf(a) : Rⁿ ! Rⁿ soit inversible.

Alors l’ensemble f(Rⁿ) = {y 2 Rⁿ : il existex2Rⁿ tel quey=f(x)} contient une boule ouverte.

4. Soit f : R² ! R une fonction de classe C¹ et (x0, y0) 2 R² tel que f(x₀, y₀) = 0. Alors il existe >0 et une fonctiong: [x₀ , x₀+ ]!R tels quef(x, g(x)) = 0 pour|x x₀| .

5. Soitf:R²!Rune fonction de classeC¹. Alors il existe un point (x₀, y₀) et un nombreC2Rtel quex²₀+y₀²= 1 et (rf)(x0, y0) =C(x0, y0).

Questions de cours. (5 points)

(a) Soitf:Rⁿ!Rⁿ une fonction. D´efinir la notion de la di↵´erentiabilit´e de f au point donn´ea2Rⁿ.

(b) Enoncer le th´eor`eme d’inversion locale pour une fonction´ f:R!R. (c) SoitE un espace vectoriel norm´e etL:E!E une application lin´eaire.

Montrer queLest continue en z´ero si et seulement si sup

x2BkLxkE <1, (1) o`uB⇢Ed´esigne la boule unit´e de centre z´ero.

1La note de l’examenNEest calcul´ee par la formuleNE = min(N1,10) +N2, o`uN1et N2sont les notes pour les parties I et II.

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Question de TD. (5 points)SoitMⁿ(R) l’espace des matrices r´eelles de taille n⇥net':Mn(R)!Rune fonction d´efinie par'(A) = Tr(^tAA). D´eterminer les points critiques de'.

Deuxi`eme partie

Exercice 1. (4 points)Soitf :R²!Rune fonction d´efinie par f(x, y) =x+y+ 1 cos²(x+y).

(a) Montrer que l’equationf(x, y) = 0 au voisinage de (x₀, y₀) = (0,0) deter- mine implicitement une fonctiony='(x) de classeC¹.

(b) Donner le d´eveloppement limit´e de'`a l’ordre 1 enx0= 0.

(c) Donner l’´equation de la tangente `a la courbe {(x, y)2R² :f(x, y) = 0} au point (0,0).

Exercice 2. (3 points) SoitR+= [0,+1[ eth:R+!R la fonction d´efinie par

h(x) =

⇢ xlnx pourx >0, 0 pourx= 0.

(a) Montrer queh:R⁺!Rest continue et trouver

xinf2R+

h(x), sup

x2R+

h(x).

V´erifier queh(x)>0 pourx2]0,1[.

Soit Rⁿ+ = {x = (x₁, . . . , x_n) : x_k 0 pour 1kn} et f_n : Rⁿ+ ! R la fonction donn´ee parfn(x1, . . . , xn) =h(x1) +· · ·+h(xn).

(b) Soit _n={x2R⁺n :x₁+· · ·+x_n= 1}. 1. L’ensemble _nest il compact?

2. Montrer quefn atteint sa borne sup´erieure/inf´erieure sur n. 3. Montrer que inf_{x2 n}f_n(x) = 0.

4. Soitn= 2. Calculer sup_{x2 2}f2(x).

5. D´eterminer par recurrence sup_{x2 n}fn(x) (c) Trouver sup_x2R⁺

nf_n et inf_x2R⁺

nf_n.

Exercice 3. (3 points) Soitf : [0,1] ! R de classe C³. On notera R2[X]

l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2.

(a) Soit l’application':R2[X]!R³d´efinie par'(P) = (P(0), P⁰(0), P(1)).

Montrer que'est un isomorphisme. En d´eduire qu’il existe un polynˆome Pf2R²[X] tel quePf(0) =f(0),P_f⁰(0) =f⁰(0),Pf(1) =f(1).

(b) Montrer que pour toutx2[0,1] il existe⇠_x2[0,1] tel que f(x) Pf(x) =f⁽³⁾(⇠x)

6 x²(x 1). (2)

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