L3 Math´ematiques 2 Mai 2016
Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique
Dur´ee: 4h. Aucun document ni calculatrice autoris´e.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 2+4+5+3+6=20.
Exercice 1. D´eterminer P le polynˆome d’interpolation de Lagrange aux points d’abscissesx =
−π2,x= 0etx= π2 de la fonctionf(x) = cos(x). Tracer le graphe deP. Exercice 2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y0(t) =f(t, y(t)), y(0) =y0,
o`uy0 ∈Retf :R×R→Rest une fonction de classeC2 telle que ∂f
∂y est born´ee.
a)Montrer qu’il existeC ≥0tel que
|f(t, y1)−f(t, y2)| ≤C|y1 −y2|, ∀t, y1, y2 ∈R.
b)Justifier qu’il existe une unique solution maximale `a l’´equation diff´erentielle. Sur quel intervalle cette solution est-elle d´efinie? Justifier.
Etant donn´eT >0on consid`ere le sch´ema num´erique
yn+1 =yn+αhf(tn, yn) +βhf(tn+λh, yn+λhf(tn, yn)), n= 0, . . . , N −1, o`uλ ∈]0,1],α, β ∈Rsont des param`etres,h= NT, ettn=nh,n= 0, . . . , N.
c)D´eterminer la fonctionφd´efinissant le sch´ema sous la formeyn+1 =yn+hφ(tn, yn, h).
d)Montrer que le sch´ema est stable pour tout choix des param`etresα, β, λ.
e)Montrer que le sch´ema est consistant si et seulement siα+β = 1.
f)D´eterminerα etβ en fonction deλ pour que le sch´ema soit d’ordre au moins 2. Quel sch´ema reconnaissez vous si on prendα = 0?
Exercice 3. SoitU ={(x, y, z)∈R3|x > 0, y >0z >0}etf :U →Rla fonction d´efinie par f(x, y, z) = xyz+ 1
x + 1 y + 1
z.
a)Justifier rapidement quef est de classeC2 surU.
b)Montrer quef poss`ede un unique point critique(x0, y0, z0)que l’on d´eterminera.
c)Etudier la nature de ce point critique: est-ce un minimum local? un maximum local?
TSVP
On poseK =1
4,643
.
d) Montrer que si (x, y, z) ∈/ K on a f(x, y, z) > f(1,1,1). On pourra distinguer selon deux cas: soit x, y etz sont tous les trois sup´erieurs `a 14, soit l’une des trois coordonn´ees au moins et inf´erieure `a 14.
e)Montrer quefposs`ede un minimum global surU et le d´eterminer.fposs`ede-t-elle un maximum global? Jusitifiez.
Exercice 4.
a)Soitf :R→Rune fonction d´erivable. On suppose qu’il existea ∈Rtelle quef0(x) = apour toutx∈R.
i)D´emontrer, uniquement `a l’aide du Th´eor`eme des accroissements finis, qu’il existeb ∈Rtel quef(x) =ax+bpour toutx∈R.
ii)D´emontrer, en utilisant uniquement l’in´egalit´e des accroissements finis appliqu´e `a une fonc- tiong bien choisie, qu’il existeb ∈Rtel quef(x) = ax+bpour toutx∈R.
b)SoitE un espace vectoriel norm´e etf : E →E une fonction diff´erentiable. On suppose qu’il existe L ∈ L(E) telle queDf(x) = L pour tout x ∈ E. Montrer qu’il existe y0 ∈ E tel que f(x) = L(x) +y0pour toutx∈E.
Exercice 5. On consid`ere l’espace vectoriel `1 = {u = (un)n| P
|un|converge} muni de la normekuk1 =
∞
X
n=0
|un|. Sik∈Non noteraδ(k)l’´el´ement de`1 v´erifiantδ(k)n =
1 sin=k, 0 sinon.
Partie I.Soita = (an)nune suite born´ee. On notekak∞= sup
n∈N
|an|.
a)Montrer que pour toutu∈`1 la s´erieP
anunconverge.
Soitϕa : `1 → Rl’application d´efinie par, si u = (un)n ∈ `1, ϕa(u) =
∞
X
n=0
anun.La question a) assure queϕaest bien d´efinie.
b)Dans cette question uniquement on prendala suite de terme g´en´eralan = (−1)n etucelle de terme g´en´eralun= 21n. Justifier queu∈`1 et calculerϕa(u).
c)Montrer queϕaest une application lin´eaire continue et que|||ϕa||| ≤ kak∞. d) i)Calculerϕ(δ(2))puisϕ(δ(k))pourk∈N.
ii)En d´eduire que|||ϕa|||=kak∞quelque soit la suitea.
Partie II. Soit ϕ : `1 → R une application lin´eaire continue. Pour tout n ∈ N on pose an = ϕ(δ(n)).
a)Montrer que la suitea= (an)nest born´ee et v´erifiekak∞≤ |||ϕ|||.
On va montrer queϕ = ϕa o`uϕa est d´efinie comme dans la partie I, autrement dit que pour tout u∈`1 on aϕ(u) =ϕa(u).Soitu∈`1. Pour toutN ∈Non noteu(N) la suite d´efinie par
u(N)n =
un sin ≤N, 0 sinon.
b)Exprimeru(N) `a l’aide de la famille{δ(k), k ∈N}.
c)En d´eduire que pour toutN ∈Non aϕ(u(N)) =ϕa(u(N)).
d)Montrer queku−u(N)k1 →0lorsqueN → ∞. En d´eduire queϕ(u) =ϕa(u).
