Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif.

Universit´ e Grenoble Alpes Ann´ ee 2016-2017 Module MAT 307

CC1 : examen partiel du 2 novembre 2016 Une feuille A4 recto-verso manuscrite est autoris´ ee

Calculatrices autoris´ ees

Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif.

Dur´ ee 2h Exercice – [ ? ? points ]

On consid` ere la courbe param´ etr´ ee en polaire r(θ) = − ln(cos(θ)) pour θ ∈ R .

1. Donner le domaine de d´ efinition et r´ eduire l’intervalle d’´ etude par un argu- ment de p´ eriodicit´ e.

r est p´ eriodique de p´ eriode 2π, et on peut se ramener ` a une ´ etude sur [0, π] par parit´ e.

Sur cet intervalle, r(θ) est d´ efinie si cos(θ) ≥ 0 donc pour θ ∈ [0, π/2].

2. Etudier les variations de r(θ) pour θ ∈ ]0, π/2[.

cos est d´ ecroissante et − ln d´ ecroissante, donc r est croissante de r(0) = 0 ` a lim θ→π/2 r = +∞. On peut aussi calculer r ⁰ = sin(θ)/ cos(θ).

Remarque : on observe que r(0) = r ⁰ (0) = 0, donc l’origine est un point singulier, comme r reste positif il s’agit d’un point de rebroussement, avec tangente horizontale (car faisant un angle θ = 0 avec l’axe des x).

3. Trouver la valeur de θ ∈ ]0, π/2[ pour laquelle la distance du point (r(θ) cos(θ), r(θ) sin(θ))

`

a l’axe (Oy) est maximale. Donner une valeur approch´ ee.

(Indication par rapport au trac´ e : quelle est la direction de la tangente en ce point ?) x = − ln(cos(θ)) cos(theta) est maximal lorsque x ⁰ = 0. Or

x ⁰ = sin(θ)

cos(θ) cos(θ) + ln(cos(θ) sin(θ) = sin(θ)(1 + ln(cos(θ)))

Donc x ⁰ s’annule sur ]0, π/2[ en θ tel que 1 + ln(cos(θ)) = 0 soit cos(θ) = e ⁻¹ ou θ = acos(1/e). En ce point r = 1 (et x = 1/e).

X:=-ln(cos(x))*cos(x); dX:=factor(X’);

− ln (cos (x)) cos (x) , (ln (cos (x)) + 1) sin (x) [t]:=solve(dX=0,x)|(x>0 and x<pi/2); Xm:=X(x=t);

{acos inv e ¹

}, inv e ¹ Les valeurs approch´ ees :

evalf(t,4); evalf(Xm,4);

1.194, 0.3679 4. Etudier la branche infinie.

En θ = π/2, le logarithme tend vers l’infini, il y a une branche infinie. On recherche

l’asymptote dans le rep` ere tourn´ e de θ = π/2 en multipliant r(θ) par sin(θ − π/2) avec θ tendant vers π/2 ⁻ On pose θ = π/2 − h avec h tendant vers 0 ⁺ .

− ln(cos( π

2 − h)) ∗ sin(−h) = sin(h) ln(sin(h))

Comme sin(h) est ´ equivalent ` a h en 0 et comme ln(h) tend vers l’infini beaucoup plus lentement que h ne tend vers 0 (lim h ln(h) = 0 en 0) la limite est nulle. On peut v´ erifier

`

a la machine :

limit(-ln(cos(x))*sin(x-pi/2),x=pi/2) 0

On a donc une asymptote d’´ equation Y = 0 dans le rep` ere tourn´ e de π/2, c’est l’axe Oy dans le rep` ere non tourn´ e.

5. Tracer la courbe pour θ ∈ [0, π/2[ (faire apparaitre sur la courbe le point de param` etre θ = 0 et le sens de parcours).

plotpolar(-ln(cos(x)),x=0..pi/2)

x y

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5

6. En utilisant un argument de sym´ etrie et le trac´ e de la question pr´ ec´ edente, tracer la courbe r(θ) = − ln(cos(θ)) pour θ ∈ ] − π/2, π/2[.

On a une sym´ etrie par rapport ` a Ox puisque r(−θ) = r(θ).

plotpolar(-ln(cos(x)),x=-pi/2..pi/2)

x y

−2 −1 0 1 2

−1

−0.5 0 0.5 1

Probl` eme – [ ? ? points ]

On consid` ere la courbe param´ etr´ ee (x(t), y(t)) = (|t ² − 1| ^3/2 , t ³ ), t ∈ R . (Rappel : (1 + h) ^α = 1 + αh + O(h ² ) avec α ∈ R fix´ e et h → 0.)

1. Donner le domaine de d´ efinition, et r´ eduire l’intervalle d’´ etude par un argu- ment de sym´ etrie.

x et y sont d´ efinis sur R . x est paire, y est impaire, donc sym´ etrie par rapport ` a Ox. On se ram` ene ` a [0, +∞[.

2. Etude pour t ∈ [0, 1] :

(a) En ´ ecrivant x(t) sans les valeurs absolues, calculer x ⁰ (t).

On a x(t) = (1 − t ² ) ^3/2 , donc x ⁰ (t) = 3

2 (−2t)(1 − t ² ) ^1/2 = −3t √

1 − t ² , y ⁰ = 3t ² (b) Calculer lim

t→1− x ⁰ (t) et en d´ eduire la direction de la tangente en t = 1.

x ⁰ → 0, y ⁰ = 3 donc tangente verticale.

(c) Donner le double tableau de variations sur [0, 1].

x d´ ecroit de x(0) = 1 ` a x(1) = 0, y croit de 0 ` a 1

(d) Y a t-il des points singuliers ? BONUS : Si oui, ´ etudier les (nature et tangente).

x ⁰ et y ⁰ s’annulent simultan´ ement en t = 0 seul point d’annulation de y ⁰ , donc il y a un point singulier (1, 0) de param` etre t = 0. En utilisant le DL rappel´ e dans l’´ enonc´ e on a x = 1 − <sup>3</sup> <sub>2</sub> t <sup>2</sup> + O(t <sup>4</sup> ) et y = t <sup>3</sup> donc la tangente est horizontale et c’est un rebroussement (de 1` ere esp` ece). On peut aussi calculer

x ⁰⁰ = −3 √

1 − t ² + 3t ²

√ 1 − t ² = 6t ² − 3

√ 1 − t ² , y ⁰⁰ = 6t

x ⁰⁰ (0) = −3 et y ⁰⁰ (0) = 0. On peut v´ erifier par un argument de sym´ etrie en 0, la tangente est sym´ etrique par rapport ` a Ox.

(e) Tracer la courbe (faire apparaitre sur la courbe les points de param` etres

t=0, 1 et le sens de parcours).

purge(t);G:=plotparam([(1-t^2)^(3/2),t^3],t,0,1);

G

x y

−0.5 0 0.5 1 1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(f) Calculer la longueur d’arc entre les points de param` etres t = 0 et t = 1.

p x ⁰² + y ⁰² = q

(−3t √

1 − t ² ) ² + (3t ² ) ² = p

9t ² (1 − t ² + t ² ) = 3t Donc la longueur demand´ ee vaut

Z 1

0

p x ⁰² + y ⁰² dt = Z 1

0

3t dt = 3 2 V´ erification sur la courbe cela parait plausible

(g) En t = 1/2, donner le rep` ere de Fr´ enet, la courbure et le centre du cercle osculateur. Rajouter le trac´ e du cercle osculateur dans le trac´ e pr´ ec´ edent.

Le vecteur tangent est

−

→ T = (x ⁰ , y ⁰ )

p x ⁰² + y ⁰² = (− √

1 − t ² , t)

on retrouve bien un vecteur horizontal en t = 0 (dirig´ e vers la gauche). En t = 1/2,

−

→ T = (− √

3/2, 1/2), qui dirige la tangente au point de coordonn´ ees : ((1 − t ² ) ^3/2 , t ³ ) = ( 3 √

3 8 , 1

8 ) Le vecteur normal est − →

N = (−t, − √

1 − t ² ), qui donne en t = 1/2 − →

N = (−1/2, − √ 3/2).

On a

κ − → N = dT

ds = dt ds

dT dt soit

κ(−t, − √

1 − t ² ) = 1 3t ( t

√ 1 − t ² , 1) donc

κ = − 1

3t √

1 − t ² = − 4 √

3

9

Autre m´ ethode, la courbure est aussi donn´ ee par κ = x ⁰ y ⁰⁰ − x ⁰⁰ y ⁰

(3t) ³ = − 1 3t √

1 − t ² V´ erification :

assume(t>0);k:=normal(curvature(G,t));normal (k(t=1/2));

t,

√ −t ² + 1

(3 · t ³ − 3 · t) , − 4 · √ 3 9 Le centre du cercle osculateur est donn´ e par

((1 − t ² ) ^3/2 , t ³ ) + 1 κ N en t = 1/2 soit

( 3 √ 3 8 , 1

8 ) − 9 4 √

3 (− 1 2 , −

√ 3

2 ) = ( 3 √ 3 4 , 5

4 ) gl_x=-2..3;gl_ortho=true;XY:=[(1-t^2)^(3/2

),t^3];G:=plotparam(XY,t,0,1); M:=point(XY (t=1/2));C:=osculating_circle(G,1/2,color=blue ); I:=center(C);

G

M

I

x y

−1 0 1 2 3

−0.5 0 0.5 1 1.5

V´ erification des coordonn´ ees du centre du cercle : normal(coordinates(I));

[ 3 · √ 3 4 , 5

4 ]

3. Etude pour t ∈ [1, +∞[ :

(a) En ´ ecrivant x(t) sans les valeurs absolues, calculer x ⁰ (t).

x(t) = (t ² − 1) ^3/2 donc x ⁰ (t) = 3t √

t ² − 1

(b) Montrer que lim

t→1+ x ⁰ (t) = lim

t→1− x ⁰ (t).

0=0

(c) Donner le double tableau de variations sur [1, +∞[.

x croit de 0 ` a +∞ et y de 1 ` a +∞

(d) Y a t-il des points singuliers ? BONUS : Si oui, ´ etudier les (nature et tangente).

Non, puisque y ⁰ = 3t ² ne s’annule pas si t ≥ 1. Zut, pas de bonus :-(

(e) Etudier les branches infinies. (Indication : observer que pour t → +∞, x(t) = t ³ (1 − _t ¹

) ^3/2 avec h = −1/t ² → 0.)

Lorsque t → +∞, x et y tendent vers l’infini, on calcule y/x avec l’indication y

x = (1 − 1

t ² ) ^−3/2 → 1 puis

y − x = t ³ (1 − (1 + h) ^3/2 ) = t ³ (− 3

2 h + O(h ² )) = 3

2 t + O( 1

t ) → +∞

Branche parabolique de direction asymptotique y = x.

4. Tracer la courbe pour tout t dans le domaine de d´ efinition (faire apparaitre sur la courbe les points de param` etres t=0, 1 et le sens de parcours).

plotparam([abs(t^2-1)^(3/2),t^3],t,-2,2)

x y

−10 −5 0 5 10 15 20

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

5. Calculer la courbure pour t > 1.

(Consigne : on pourra donner le r´ esultat du calcul fait ` a la calculatrice ` a condition de donner la commande utilis´ ee)

assume(t>1);X:=(t^2-1)^(3/2); Y:=t^3;

t, √

t ² − 1(t ² − 1), t ³

X1:=simplify(diff(X,t)); Y1:=simplify(diff(Y,t)) 3 · t √

t ² − 1, 3 · t ²

X2:=simplify(diff(X1,t)); Y2:=simplify(diff(Y1,t)) (6 · t ² √

t ² − 1 − 3 √

t ² − 1) (t ² − 1) , 6 · t k:=simplify((X1*Y2-X2*Y1)/sqrt(X1^2+Y1^2)^3);

−

√ 2 · t ⁴ − 3 · t ² + 1

(12 · t ⁷ − 24 · t ⁵ + 15 · t ³ − 3 · t) V´ erification

simplify(curvature(plotparam([(t^2-1)^(3/2 ),t^3]),t))

−

√ 2 · t ⁴ − 3 · t ² + 1

(12 · t ⁷ − 24 · t ⁵ + 15 · t ³ − 3 · t) Autre forme du r´ esultat :

1/factor(simplify(1/k))

− 1

3 · t(2 · t ² − 1) √

2 · t ⁴ − 3 · t ² + 1 ou encore en factorisant partiellement sous la racine :

− 1

3t(2t ² − 1) p

(t ² − 1)(2t ² − 1)