Seconde 6 DS4 12 D´ecembre 2015 Dur´ee 55 minutes . Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom et Pr´enom :
Exercice 1 : In´equations (13 minutes) (5 points)
R´esoudre dansR:
1. (x−5)(x+ 2)>0 2. (−2x+ 2)(3x−5)>0 3. (x+1)(x−3)(x+2)60 4. (5x−2)2<(3x−5)2
Exercice 2 : Exercices techniques : Vecteur (13 minutes) (5 points) 1. SoientA(2; 3),B(5; 7) etC(6; 5) trois points. D´eterminer les coordonn´ees de M tels que−−→
AM=−−→ AB+12−→
AC.
2. D´eterminer le nombre r´eelxtel que les vecteurs :~u x+16
et~v 2x3
soient colin´eaires 3. SoientA(−4; 4),B(14; 12),C(6; 0) etD(−3;−4). D´emontrer queABCD est un trap`eze.
Exercice 3 : Probl`eme : Vecteur (15 minutes) (5 points)
On consid`ere le triangleABC,R est un point de (AB),S un point de (AC) etT un point de (BC) d´efinie par :
• −→
AR=−12−−→
AB • −→
AS =13−→
AC • −→
BT = 35−−→ BC Partie Z : Placer les pointsR,S etT sur la figure
A B
C
Dans la suite, on se propose de d´emontrer que les pointsR, S etT sont align´es en utilisant deux m´ethodes Partie A : M´ethode analytique
On consid`ere le rep`ere (A;B,C)
1. Donner les coordonn´ees des points suivants :A,B,C,S etR 2. Calculer les coordonn´ees du pointT.
3. Montrer que les coordonn´ees de−→
ST sont 25;154 4. Montrer que−→
ST et−→
SR sont colin´eaires.
5. Conclure
Partie B : M´ethode g´eom´etrique
Dans cette partie, on utilise des ´egalit´es vectorielles, c’est-`a-dire sans coordonn´ees.
1. D´ecomposer−→
RS et−→
RT sur les vecteurs−−→ AB et−→
AC.
2. En d´eduire que−→
RSet−→
RT sont colin´eaires.
3. Conclure.
Exercice 4 : Probl`eme : In´equation (14 minutes) (5 points)
Partie A : ´Etude d’une fonction
Soitf la fonction d´efinie surRparf(x) =−5x2+ 100x−320 1. Montrer quef(x) =−5 (x−10)2−36
; 2. a. Factoriser (x−10)2−36.
b. En d´eduire une factorisation def. 3. Dresser le tableau de signes def. Partie B : Application
Pendant une exp´erience, l’altitude (en m`etres) d’un projectile lanc´e `a partir du sol est donn´ee `a l’instant t (en secondes) par la formule :
h(t) =−5t2+ 100t.
(L’origine correspond `at= 0s.)
1. `A quelle hauteur se trouve le projectile apr`es 5 secondes.
2. `A quel instant le projectile retombe-t’il au sol ?
3. D´eterminer la p´eriode pendant laquelle l’altitude du projectile est sup´erieure ou ´egale `a 320m.
