M54 Probabilit´ es S5 – 2017-2018 Universit´ e Lille 1, UFR de Math´ ematiques
Responsable: S. De Bi` evre
Interrogation ´ Ecrite I, 18 octobre 2017 Dur´ ee 50 minutes
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Le barˆ eme est donn´ e ` a titre indicatif R´ epondre dans les espaces pr´ evus ` a cet effet.
El´ ´ ements de r´ eponse
Exercice 1. [3 pts] (i) [1 pt] Soit Ω un ensemble. Rappeler la d´ efinition de tribu F et de probabilit´ e P .
R´ eponse. Consulter votre cours ou le polycopi´ e, ils servent ` a cela. J’ai ´ et´ e ´ etonn´ e de constater qu’au moins 50% d’entre vous n’ont pas r´ epondu ` a la deuxi` eme partie de la question. Et que beaucoup d’autres ne savent pas donner la d´ efinition correcte.
Dans un cours de probabilit´ es, on peut s’attendre ` a ce que les ´ etudiants apprennent ce qu’est “une probabilit´ e,” non?
Soit maintenant N ∈ N
∗et soit Ω = {ω
1, ω
2, . . . , ω
N} un ensemble fini de N
´
el´ ements.
Soit f : n ∈ {0, 1, . . . , N } → f(n) ∈ R et α > 0. On consid` ere, pour tout A ⊂ Ω P (A) = αf (]A) .
Ici ]A d´ esigne le cardinal de A.
Remarque. Une petite erreur s’´ etait gliss´ ee dans l’´ enonc´ e, corrig´ ee ici. Elle n’affectait qu’un partie de la deuxi` eme question ci-dessous. J’ai ajust´ e le barˆ eme en cons´ equence.
(ii) [1 pt] Montrer que, si P est une probabilit´ e sur P (Ω), alors α =
f(N1 ). R´ eponse. Comme P (Ω) = 1, on a αf (N ) = 1, donc α = 1/f (N ).
(iii) [1 pt] Montrer que P est une probabilit´ e si et seulement si α =
f(N)1et f (n) = nf (1) pour tout 0 ≤ n ≤ N . Quelle loi de probabilit´ e a-t-on alors?
R´ eponse. ⇐ Si α =
f(N1 )et f(n) = nf (1), on a P (A) =
ff(N(]A))=
]AN. Ceci est la probabilit´ e uniforme sur Ω, vu en cours.
⇒ On sait d´ ej` a, de (ii), que α = 1/f (N ) et donc P (A) =
f(]A)f(N), pour tout A⊂ Ω.
Par ailleurs, 0 = P (∅) = f(0)/f (N ), donc f (0) = 0 = 0f (1). Soit maintenant pour tout 1 ≤ n ≤ N , A
n= {ω
1, ω
2, . . . , ω
n}. Alors A
n= ∪
k=1,...,n{ω
k} et donc
f(n)
f(N)
= P (A
n) = P
nk=1
P ({ω
k}) = P
n k=1f(1)
f(N)
= n
f(Nf(1))pour tout 1 ≤ n ≤ N . On en conclut que f (n) = nf (1).
Remarque. On ne peut pas conclure de ce raisonnement que f(1) = 1. Je n’ai pas
p´ enalis´ e ceux qui ont quand mˆ eme pr´ etendu le d´ emontrer.
Exercice 2. [4 pts] (i) [1 pt] Soit Ω un ensemble et C une collection de sous- ensembles de Ω. Donner la d´ efinition de “tribu engendr´ ee par C”.
R´ eponse. Consulter votre cours ou le polycopi´ e, ils servent ` a cela.
(ii) [1 pt] Donner la d´ efinition de la tribu des Boreliens sur R
2. R´ eponse. Consulter votre cours ou le polycopi´ e, ils servent ` a cela.
(iii) [2 pts] Est-ce que Q ⊂ R est un Borelien? Quelle est la mesure de Lebesgue de Q ?
R´ eponse. Q est d´ enombrable. Q est donc l’union d´ enombrable de ses singletons.
Et nous avons vu en cours que les singletons sont des Boreliens. Q est donc bien un Borelien. La mesure de Lebesgue de Q est donn´ ee par
λ
1( Q ) = X
r∈Q
λ
1({r}) = X
r∈Q
0 = 0.
En effet, λ
1([a, b]) = b − a et {r} = [r, r].
Remarque. Pour rappel, voici quelques choses vraies, dont vous ˆ etes nombreux ` a penser qu’elles sont fausses.
Q n’est pas ouvert.
Q n’est pas ferm´ e.
Un sous-ensemble dense de R n’est pas forc´ ement un Borelien.
Il existe des Boreliens qui ne sont ni ouverts, ni ferm´ es.
Une union d´ enombrable d’ensembles ferm´ es n’est pas forc´ ement ferm´ e.
Exercice 3. [3 pts] La variable al´ eatoire X a pour fonction de r´ epartition F repr´ esent´ ee ci-dessous.
x y
-1 -2
0.6
0.25 1
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