Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2013-2014 DEGEAD 1er cycle
UE 13
Examen de janvier 2014
Dur´ee 1h30. Les documents et calculatrices sont interdits. La qualit´e de r´edaction et de la pr´esentation entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Exercice 1 On consid`ere les 2 fonctions suivantes d´efinies sur R2
f(x, y) =exy et g(x, y) = 2x2+y2−1.
On se propose de d´eterminer les extrema de la fonction f sur l’ensemble
E ={(x, y)∈R2;g(x, y)60}.
1. (1 pt.)On admet que l’ensembleE est ferm´e. Montrer qu’il est compact. Le repr´esenter sur un dessin (ce dessin servira `a nouveau par la suite). Pour vous aider, l’allure approximative est donn´ee ci-dessous.
Si (x, y)∈ E alors 1>2x2+y2 >x2+y2. Donc E est inclus dans la boule de centre 0 et de rayon 1.
2. On commence par une ´etude pr´eliminaire
(a) (0.5pt.)Justifier que les fonctionsf, g sont de classe C2 surR2. (b) (0.25 pt. ×4) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres def etg.
∂xf =yexy, ∂yf =xexy, ∂xg = 4x, ∂yg = 2y.
(c) (0.5 pt.×3) Calculer les d´eriv´ees partielles secondes de f et g.
∂xx2 f =y2exy, ∂xy2 f = (1 +xy)exy, ∂yy2 f =x2exy.
(d) (1 pt. +1pt.) Les fonctions f et g sont-elles convexes ou concaves surR2?
Pourf, en (0,0), on a det de la hessienne<0 donc ni cvx ni ccv. Pour g, faire avec les polynˆomes de degr´e 2 pour montrer qu’elle est convexe.
1
(e) (1 pt+0.5pt) Donner l’´equation de la tangente `a la courbe de niveau 0 deg au point (0,1). La placer sur le dessin. tangente y= 1
(f) (1 pt+0.5pt)Calculer le produit scalaire de ∇f(0,1) et ∇g(0,1). Expliquer intuiti- vement (et bri`evement) si vous vous attendez `a ce que le point (0,1) soit un point critique pour le probl`eme d’optimisation de f sous la contrainteg(x, y) = 0.
∇f(0,1) = (1,0) et ∇g(0,1) = (0,2) donc le produit scalaire est nul. Non, ce n’est pas un point critique car f va croˆıtre dans une direction parall`ele `a la tangente `a la courbe de niveau.
(g) (1 pt) Ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de f au point (0,1).
f(h,1 +k) = 1 +h+12(h2+ 2hk) + (h2+k2)ε(h, k)
(h) (1 pt) Donner l’´equation du plan tangent au graphe de f au point (0,1, f(0,1)).
z−1 = x
(i) (1 pt) Quelle est la position du graphe par rapport au plan tangent au point (0,1, f(0,1)) ?Le det de la hessienne est strict negatif. Le plan traverse le graphe.
(j) (1 pt)Donner une valeur approch´ee `a l’ordre 2 de f(−0.2,0.9).
f(-0.2,0.9)=0.84
3. On ´etudie maintenant l’´eventuelle pr´esence d’extrema locaux de f `a l’int´erieur de l’en- semble E, c’est-`a-dire sur l’ensemble ˚E ={(x, y)∈R2;g(x, y)<0}, qui est ouvert.
(a) (0.5pt+0.5pt)D´eterminer l’unique point critique def sur ˚E. Le placer sur le dessin.
C’est le point (0,0)
(b) (1pt)Quelle est la nature de ce point critique ? On aD2f(0,0) = 0 1
1 0
!
donc c’est un point col.
4. On ´etudie maintenant les extrema de f sur la fronti`ere de l’ensemble E, c’est-`a-dire sur l’ensemble Fr(E) = {(x, y) ∈ R2;g(x, y) = 0}. C’est donc un probl`eme d’optimisation avec contrainte.
(a) (0.5pt)D´eterminer les points critiques de seconde esp`ece.(aucun)
(b) (0.5pt×4+0.5pt dessin) D´eterminer les 4 points critiques de premi`ere esp`ece ainsi que les multiplicateurs de Lagrange associ´es. Les placer sur le dessin.
(x, y, λ)∈ {(12,
√2 2 ,
√2 4 e
√ 2
4 ),(−12,−
√2 2 ,
√2 4 e
√ 2
4 ),(−12,
√2 2 ,−
√2 4 e−
√ 2
4 ), (12,−
√2 2 ,−
√2 4 e−
√ 2 4 )}
(c) (1pt)Quel est la nature de ces points critiques pour le probl`eme avec contrainte ? On calcule les images par f. Il y a 2 max globaux et 2 min globaux car on est sur un compact.
5. (1pt) Conclure quant aux extrema def surE.
Pas d’extremum `a l’int´erieur deE. Ils sont tous sur la fronti`ere. Les max/min sont indiqu´es
`
a la question pr´ec´edente.
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