Université Paris Dauphine Année universitaire 2013-2014
Première année DEGEAD Cours-TD de MR. BEY
Analyse Réelle, Optimisation libre et sous contrainte Groupes 12 & 17
Cours-TD 26 : 15/01/2014
Fin des cours du semestre 1 (Séance de révision)
Correction Examen 02 Février 2012
Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2011–2012 DEGEAD 1er cycle, UE 13
Examen du 2 f´evrier 2011, 9h–11h
Dur´ee 2h. Les documents et calculatrices sont interdits.
La qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation entrera pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Ne pas oublier de rendre l’´enonc´e avec la copie.
Exercice 1 Soit la fonction f d´efinie par
f(x, y) =−ln(x+y) +x2
2 +xy+2y3 3 . 1. D´eterminer et tracer l’ensemble de d´efinitionDde f.
2. On admet quefest de classeC2sur son ensemble de d´efinition. Calculer le gradient et la matrice hessienne def en tout point de D.
3. On poseϕ(x) =f(x,1−x) pour toutx∈R. Calculerϕ(x), et en d´eduire quef n’est ni major´ee ni minor´ee surD.
4. Chercher les points critiques def surD, puis pr´eciser leur nature.
5. Montrer queDest un ensemble convexe. f est-elle convexe sur D? concave surD? 6. On s’int´eresse maintenant `a l’ensembleE d´efini par :
E ={(x, y)∈ D |y > 1 4}.
7. TracerE sur le mˆeme dessin queD. Montrer queE est un sous-ensemble convexe deR2. 8. Montrer quef est une fonction convexe surE.
9. Montrer quef atteint un minimum global surE en un point que l’on pr´ecisera.
10. ´Ecrire le d´eveloppement limit´e d’ordre 2 def au point (0,1).
11. En d´eduire l’´equation du plan tangent au graphe def au point 0,1, f(0,1)
et la position du graphe par rapport au plan tangent au voisinage de ce point.
12. On suppose quexpasse de 0 `a 0.01 et queypasse de 1 `a 0.98. De combien approximativement varie f?
Exercice 2 Soient les fonctions f etg d´efinies par
f(x, y) =x3+ 8y3, g(x, y) =x2+ 4y2−4.
1. Montrer quef a un unique point critique surR2, dont on pr´ecisera la nature.
On cherche les extrema def sous la contrainte g(x, y) = 0. La contrainte est une ellipse qui est trac´ee au verso du sujet. On admet que c’est un sous-ensemble ferm´e de R2.
2. Montrer, par un raisonnement math´ematique, que la contrainte est un ensemble compact. Qu’en d´eduit-on pour l’optimisation def sous la contrainte ?
3. Montrer qu’il n’y a pas de point critique de seconde esp`ece sous la contrainteg(x, y) = 0.
4. Trouver les six points critiques de premi`ere esp`ece sous la contrainteg(x, y) = 0, sans oublier de pr´eciser leur multiplicateur de Lagrange. Les placer sur le dessin.
5. Pr´eciser la nature de chaque point critique. T.S.V.P.−→
1
1
−1
1 2
−1
−2 x
y
0
Repr´esentation graphique de la contrainte g(x, y) = 0
2
