Universit´e de Paris 6
G´eom´etrie Diff´erentielle ´El´ementaire LM 326
Janvier–Juin 2013.
Premi ` ere Session 2013
* Les t´el´ephones portables, les documents, et les calculatrices sont interdits.
* Les r´eponses doivent ˆetre soigneusement justifi´ees.
* L’interpr´etation et bonne compr´ehension des ´enonc´es est une partie importante du devoir.
* Cette ´epreuve est une ´evaluation globale, et vous pouvez perdre des points en faisant des affirmations fausses.
Exercice 1(20%). (a) SoitPle plan{z=1}etSla sph`ere. Montrer que l’ensembleM=P∪S n’est pas une surface r´eguli`ere.
(b) Montrer queX={(x,y,z)∈R3 : x2+y2+z5=0}n’est pas une surface r´eguli`ere.
Exercice 2(20%). SoientSetS′des surfaces r´eguli`eres et f :S→S′une fonction diff´erentiable.
On rappele la d´efinition suivante : TpS=
α′(t0) : α: (a,b)→R3est diff´erentiable, contenue dansS, etα(t0) =p
.
Soientα : (a,b) → R3 etβ : (c,d) → R3 des courbes C∞ telles queα(t), β(s) ∈ S pour chaque a < t < bet c< s < d. Soientm ∈ (a,b) etn ∈ (c,d) tels queα(m) = β(n) = p et α′(m) = β′(n).
Montrez que (fα)′(m)=(fβ)′(n).
Exercice 3(20%). SoitTle tore.
(a) `A l’aide d’un diff´eomorphisme local R2 → T, montrer l’existence de deux champs de vecteurs diff´erentiablesX,YsurTtels queTpT=R·X(p)+R·Y(p), ∀p∈T.
(b) Montrer queTest orientable.
Exercice 4(20%). SoitC={x2+y2 ,x>0} ⊆R3le demi cylindre et soitBla bande (−π/2, π/2)× R⊂R3.
1. Trouvez explicitement une isom´etrieh:B→C. (Justifiez soigneusement vos affirmations.) 2. Montrez par des calculs directs quehpr´eserve la courbure de Gauss.
3. Trouvez un pointp0 ∈Bo `u la courbure moyenne deBenp0est diff´erente de la courbure moyenne deCenp=h(p0).
Exercice 5(20%). Soitα : (a,b) →R3 une courbe diff´erentiable de v´elocit´e scalaire constante (non nulle) et soientSetSdes surfaces r´eguli`eres dont l’intersectionS∩Sest l’image deα. On
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suppose queS, respectivementS, est orient´ee parN, respectivementN. On suppose que l’angle entreNetNest constant le long deα. On veut montrer que
Siα′(t) est valeur propre deDNα(t)pour chaquet, alors
α′(t) est aussi valeur propre deDNα(t)pour chaquet. (*) Dans la suite on ´ecritN(t), respectivementN(t), au lieu deNα(t), respectivementNα(t).
(a) Montrez que si les vecteursN(t) etN(t) sont colin´eaires pour un certaint, alorsN(t)=±N(t) pour toutt. Prouvez l’affirmation (*) dans ce cas extreme.
(b) On suppose d´esormais que N(t) et N(t) sont lin´eairement ind´ependants. Montrez que pour chaquet, l’espaceN(t)⊥∩N(t)⊥est engendr´e parα′(t).
(c) Prouvez (*).
(d) Appliquez (*) pour montrer que la v´elocit´e d’un m´eridien µ : R → T du tore est un valeur propre deDNµ(t). (Un m´eridien est l’intersection deTavec un planPengendr´e par cos(θ)·~e1+sin(θ)·~e2et~e3.)
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