Universit´e Paris 6 Ann´ee 2009-2010 LM345
Examen, premi` ere session
Dur´ee : 2h. Documents autoris´es.
Question de cours : Si une suite de v.a. Yn converge en probabilit´e vers une v.a. Y, est-il vrai que pour toute fonction continue born´eef :R→R on a limE(f(Yn)) = E(f(Y)) ? La r´eciproque est-t-elle vraie ?
Exercice 1. D´eterminer les constantes a, b pour que la fonction
F(x) =
a+1
2exp(x)
1x<0+
b− 1
2exp (−x)
1x>0
soit une fonction de r´epartition. Cette fonction de repartition est-elle d´erivable pour x∈(−∞,∞) ?
Exercice 2. Soit X une v.a. admettant pour densit´e
g : (
R→R x→ 1+xc4
o`uc est une constante de normalisation que l’on ne cherchera pas `a calculer.
1. D´emontrer que U = 1/X2 admet une densit´e que l’on calculera.
2. L’esp´erance de U est elle finie ?
Exercice 3. Soit (Ω,F,P) un espace probabilis´e, et (Xk)k∈N∗ une suite de variables al´eatoires r´eelles sur Ω, ind´ependantes et suivant une loi de Bernoulli de param`etre p∈[0,1]. Soit f :R→R une fonction continue born´ee.
1. Pour tout n on noteSn =X1+...+Xn. (a) Montrer que :
Sn n
P−p.s.
−−−→n→∞ p
(b) Existe-t-il une v.a.Y telle que Snn converge en loi versY ? Si oui, d´eterminer la loi de Y.
2. (a) Quelle est la loi deSn? On pourra donner la r´eponse sans d´emonstration.
(b) ´Ecrire une expression de E f Snn . (c) Montrer que :
n
X
k=0
Cnkpk(1−p)n−kf(k
n)−−−→
n→∞ f(p)
3. D´emontrer que la limite suivante existe et la d´eterminer :
n→∞lim
hn+√ n 2
i
X
k=
hn−√ n 2
i +1
2−nCnk
Indication : On pourra appliquer le th´eor`eme de la limite centrale.
Exercice 4. Vous avez rendez-vous `a 10h `a la plage. Pour y aller, vous devez prendre successivement deux lignes de m´etro. Le trajet sur la premi`ere ligne dure dix minutes, et il y a un train toutes les deux minutes. Le trajet sur la deuxi`eme ligne dure vingt minutes, et il y a un train toutes les cinq minutes. On mod´elise les temps d’attentes respectifs (mesur´es en minutes) par des variables al´eatoires T1 et T2 ind´ependantes, de loi uniforme sur [0,2] pourT1 et uniforme sur [0,5] pourT2.Le temps de trajet total est donc T1+T2+ 30 minutes.
1. Pr´eciser la densit´e de la v.a. T1+T2.
2. A quelle heure au plus tard devez-vous vous mettre en route (a) pour arriver sans retard presque sˆurement ?
(b) pour que votre probabilit´e d’arriver sans retard soit au moins 0.8 ?
