UdS - IPST - Master IT 19 janvier 2009
Commande des Machines Examen de premi`ere session
Correction
Enseignant : E. Laroche
N.B. Afin de profiter pleinement de cette correction, il vous est conseill´e de commencer par faire l’ensemble de l’examen avant de consulter la correc- tion. Surtout, ne cherchez pas `a apprendre la correction, mais utilisez l`a pour v´erifier que vous avez bien r´epondu `a la question et comprendre, le cas ´ech´eant, comment vous auriez pu mieux r´epondre.
1 Asservissement par avance de phase
1. Diagramme de Bode du syst`eme
−40
−30
−20
−10 0 10
Magnitude (dB)
100 101
−181
−180.5
−180
−179.5
−179
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Fig. 1 – Diagramme de Bode du syst`eme
2. Le diagramme de Bode du correcteur pour a= 1 rad/s, b= 10 rad/s et Kp = 1 est donn´e sur la figure 2.
3. La phase maximale est `a la pulsation ω∗ =√ ab.
4. Le gain complexe `a la pulsation ω∗ est C(jω∗) =Kpjω∗+a
jω∗+b =Kpj√ ab+a j√
ab+b =
−jKp
pa/b 1+j
√b/a 1−j√
b/a. Son argument est φ∗ = 2 arctan(p
b/a)−π/2.
1
10−1 100 101 102
−20
−15
−10
−5 0
Gain (dB)
10−1 100 101 102
0 50 100
Phase (°)
pulsation (rad/s)
Fig. 2 – Diagramme de Bode du correcteur (trac´e r´eel et trac´e asymptotique) 5. Le sch´ema de r´egulation est donn´e sur la figure 3. La r´ef´erence est r.
L’erreur est e=r−y o`u y est la mesure. Le signal de commande estu.
Fig. 3 – Sch´ema de r´egulation 6. Hbo(s) = Kb s+a
s2(s+b). 7. Cf figure 4.
8. La marge de phase se calcule pour la pulsation telle que la gain en boucle ouverte soit ´egal est 1 (0 dB). En choisissantKptel que|H(jω∗)C(jω∗)|= 1, on maximise la marge de phase. On a|C(jω∗)|=Kp
pa/bet|H(jω∗)|= K/(ab), soit|H(jω∗)C(jω∗)|=KKp/(b√
ab). Il faut doncKp = 1/(b√
abKp).
La marge de phase est alors ∆φ =π+arg(H(jω∗)C(jω∗)) = 2 arctan(p b/a)− π/2.
9. La marge de gain est infinie car la phase de H(s)C(s) ne d´epasse pas
−π.
10. La bande passante en boucle ferm´ee est proche de la pulsation du coupure
`a 0 dB de la fonction de transfert en boucle ouverte, soit ω∗ =√ ab.
11. Avec ω∗ = 2π×100 rad/s, on obtient : a= 260 rad/s ; b= 1520 rad/s ; Kp = 1.05×10−6.
2
10−1 100 101 102
−100
−50 0 50
Gain (dB)
10−1 100 101 102
−200
−150
−100
−50
Phase (°)
pulsation (rad/s)
Fig. 4 – Diagramme de Bode du syst`eme en boucle ouverte
12. Le temps de r´eponse du syst`eme asservi est environ trois fois l’inverse de la bande passante, soit 4,8 ms.
2 Identification
1. La fr´equence des signaux est f = 12,5 Hz.
2. L’amplification est de 2 et le d´ephasage de -135˚(−3π/4).
3. Cf figure 5.
4. H(ja) = ja2K(1+j), soit un gain de |H(ja)| = a2K√2 et une phase de arg(H(ja)) =−3π4 .
5. On a a= 2πf = 78,5 rad/s et K = 2√
2a2 = 1,74×104.
3
10−1 100 101
−60
−40
−20 0 20
Gain−20*log(K/a2 ) (dB)
10−1 100 101
−200
−150
−100
−50
Phase (°)
pulsation/a (rad/s)
Fig. 5 – Diagramme de Bode du syst`eme H(s)
4
