ULP - IPST - Master IT 4 septembre 2008
Commande des Machines Examen de rattrapage
Correction
Enseignant : E. Laroche Dur´ee : une heure
Documents de cours et calculatrice autoris´es
Remarques :
– Donnez les unit´es lorsque vous donnez des valeurs num´eriques.
– Sur les courbes, explicitez les grandeurs des axes des abscisses et des ordonn´ees. Indiquez les valeurs num´eriques si possible.
– Num´erotez les questions et encadrez les r´esultats.
– N’utilisez pas votre copie comme un brouillon. Soignez la pr´esentation.
Ecrivez lisiblement (notamment le num´ero d’anonymat).´
– Le correcteur doit pouvoir comprendre comme vous avez obtenu un r´esultat. Donnez la m´ethode o`u suffisamment de d´etails dans les cal- culs pour qu’il puisse comprendre d’o`u vient votre r´esultat.
– Recopier des parties du cours sans rapport avec l’´enonc´e ne rapporte aucun point.
1 Etude d’un syst` ´ eme du second ordre
1. La RDF s’´ecritmy(t) =¨ P
F orces=u(t)−fy(t)˙ −ky(t), ce qui s’´ecrit encore my(t) +¨ fy(t) +˙ ky(t) = u(t) o`u ˙y = ddyt et ¨y = dd2t2y. On notera k la raideur afin de la distinguer du param`etre K de la fonction de transfert.
2. La fonction de transfert s’´ecrit H(s) = 1/(ms2+f s+k).
3. Elle s’´ecrit sous la forme :
H(s) = Kω02
s2+ 2ξ ω0s+ω20
(1) avec K = 1/k, ω0 =p
(k/m) et ξ =f /(2√ km).
4. Il s’agit d’un filtre passe-bas du second ordre.
1
5. Le gain statique est H(0) =K.
6. L’amplification `a la pulsation ω est |H(jω)| qui v´erifie |H(jω)|2 = 1/((k−mω2)2 +f2ω2) = (Kω20)2/((ω2 −ω20)2+ (2ξω0ω)2). En notant X = ω2, le gain s’´ecrit |H(jω)|2 = G2(X) = (Kω20)2/D2(X) avec D2(X) = (X−ω02)2 + (2ξω0)2X. Le maximum du gain correspond au minimum du d´enominateur qui satisfait la relation dD(X)/dX = 0.
Cette relation est satisfaite pour X =ω20(1−2ξ2), soit : ωr =ω0p
1−2ξ2 (2)
Le gain maximal est le gain `a cette pulsation, ce qui donne : Gmax= max
ω |H(jω)|= K 2ξp
1−ξ2 (3)
Notons que pour ξ tr`es petit, une approximation peut ˆetre obtenue en consid´erant simplement ωr =ω0, ce qui donneGmax = maxω|H(jω)|=
K 2ξ. 7. On a :
A(ξ) = 1 2ξp
1 + 3ξ2 (4)
avec A(ξ)∼= 21ξ pourξ ≪1. Son allure en fonction de ξ est une hyper- bole.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 2 4 6 8 10 12 14
ξ
A(ξ)
Fig. 1 – Amplification en fonction de l’amortissement (trait plein : calcul exact ; trait pointill´e : calcul approch´e)
2
8. Le trac´e asymptotique du diagramme de Bode est le suivant :
– pour ω < ω0, on consid`ere que H(s) ∼=K, soit un gain de K et une phase nulle.
– pour ω > ω0, on consid`ere que H(s) ∼= Kω
2 0
s2 , soit un gain avec une pente de -40 dB/dec et une phase de -180˚.
– en ω = ω0, le gain du trac´e asymptotique se crois´e `a la valeur K alors que la phase subit une discontinuit´e.
On obtient ensuite le trac´e r´eel `a partir du trac´e asymptotique en con- sid´erant que le gain augmente `a proximit´e de ω0 et que le changement de phase se fait de mani`ere continue. Voir poly du cours pour un trac´e du diagramme de Bode d’un syst`eme du second ordre.
9. En prenant x= [y y]˙ T comme variable d’´etat, les ´equations s’´ecrivent
˙
x=Ax+Bu ety=Cx+Du, avec : A=
0 1
−mk −mf
B = 0
1 m
(5)
C = [1 0] D= 0 (6)
2 Asservissement PD d’un syst` eme r´ esonnant
1. On a Y(s)/U(s) = H(s) et U(s) = Kp(R(s) − Y(s)) − Kds Y(s).
En ´eliminant U(s) dans ces deux relations, on obtient que Y(s) = Hbf(s)U(s) o`u la fonction de transfert en boucle ferm´ee s’´ecrit :
Hbf = K0Kpω0
s2+ω0(2ξ0+K0Kdω20)s+ω02(1 +K0Kp) (7) 2. Cette fonction de transfert se met sous la forme
Hbf(s) = K1ω21
s2+ 2ξ1ω1s+ω12
(8) avec ω1 = ω0p
1 +K0Kp, K1 = K0Kp/(1 + K0Kp) et ξ1 = (ξ0 +
1
2K0Kdω0)/p
1 +K0Kp.
3. Pour imposer ω1, on peut jouer sur Kp : Kp = 1
K0
ω12
ω02
−1
(9) On r`egle ensuite Kd `a partir de l’expression de ξ1 :
Kd= 2 K0ω0
ξ1
p1 +K0Kp−ξ0
(10) Num´eriquement, on obtient Kp = 495 et Kd= 98
3
4. Le gain statique est K1 =K0Kp/(1 +K0Kp) = 0,99. Il sera d’antant plus proche de un que K0Kp est grand.
5. Avec un amortissement unitaire, le syst`eme du second ordre a deux pˆoles identiques en −ω1. Son temps de r´eponse est alors de l’ordre de 6/ω1 = 6 s.
4
